(a) Use os resultados do problema 24 para calcular 0 produto da incerteza na posição pela

incerteza no momento, para uma partícula no estado n = 3 de um poço de potencial quadrado infinito, (b) Compare com os resultados do exemplo 5-10 e do problema 13 do Capítulo 5, e comente algo a respeito do tamanho relativo dos produtos das incertezas para

os estados n = 1 ,n = 2 e n = 3.

Passo 1

Saalve, tranquilo?

Vamos resolver juntos mais uma questão de física quântica?!

Passo 2

Para comparar o produto do momento Δ p x e posição Δ x para os estados n = 1 , n = 2 e n = 3 para a autofunção de uma partícula presa em uma infinita parede potencial, de largura a , a expressão do produto Δ p x Δ x é preciso, junto com as autofunções para isso e o valor esperado para x 2

Δ p x Δ x = p x 2 - x 2 -

Onde p x 2 - é o valor esperado para o momento quadrado na direção x e x 2 - é o valor esperado para a posição quadrada.

As autofunções para a partícula presa são

ψ x = 2 a cos ⁡ n π x a     ;     n = 1,3 , 5 , …

ψ x = 2 a sin ⁡ n π x a     ;     n = 2,4 , 6 , …

O valor esperado para x 2 pode ser simplificado

x 2 - = ∫ - ∞ ∞ x 2 ψ x 2 d x

Passo 3

As integrais úteis são

∫ x 2 cos 2 ⁡ b x d x = x 3 6 + x 2 4 b - 1 8 b 3 sin ⁡ 2 b x + x 4 a 2 cos ⁡ 2 b x

E

∫ x 2 sin 2 ⁡ b x d x = x 3 6 - x 2 4 b - 1 8 b 3 sin ⁡ 2 b x - x 4 a 2 cos ⁡ 2 b x

Passo 4

a) para achar o produto de momento e posição para a partícula em n = 3

Δ p x Δ x = p x 2 - x 2 - = 88,826 h a 2 0,0777 a 2

∴ Δ p x Δ x = 2,627 h

Passo 5

b) os produtos para os estados n = 1 , n = 2 e n = 3 são

n = 1 :   0,57 h

n = 2 :   1,67 h

n = 3 :   2,63 h

Então o produto continua aumentando com n . Isso parece a quantidade que aumenta diminuindo n .

Resposta

a) Δ p x Δ x = 2,627 h

b) n = 1 :   0,57 h

n = 2 :   1,67 h

n = 3 :   2,63 h

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