Quando o volume de um objeto é aumentado, sua área superficial também aumenta. Durante este crescimento, a razão entre metros quadrados e metros cúbicos aumenta ou diminui?

Passo 1

Vamos analisar primeiramente o caso de um cubo que tem suas dimensões lineares aumentadas por um fator x (x>1) da seguinte forma (análogo a dizer que seu volume aumenta):

Inicialmente temos: A i = 6 ∙ a 2 V i = a 3

Após multiplicarmos as dimensões lineares por x: A f = 6 ⋅ x ⋅ a 2 = 6 ⋅ x 2 ⋅ a 2 V f = x ⋅ a 3 = x 3 ⋅ a 3

Razões entre área superficial e volume: A i V i = 6 ⋅ a 2 a 3 = 6 a A f V f = 6 ⋅ x 2 ⋅ a 2 x 3 ⋅ a 3 = 1 x ⋅ 6 a

Perceba que, como x é maior que um, seu inverso (1/x) é menor que um. Uma vez que a segunda razão é a primeira multiplicada pelo inverso de x, temos que ela será a menor. Matematicamente:

x > 1 → 1 x < 1 → 1 x ⋅ 6 a < 6 a → A f V f < A i V i

Portanto, concluímos que quanto um cubo aumenta de volume a razão entre metros quadrados e metros cúbicos diminui.

Passo 2

Para outros sólidos geométricos a demonstração feita no passo 1 pode ser tornar bem mais trabalhosa. Porém, o raciocínio é análogo, sendo fácil perceber que a conclusão será a mesma.

Resposta

Quando o volume de um objeto é aumentado a razão entre metros quadrados e metros cúbicos diminui.

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