Conservação de Energia

Bom pessoal, vamos pensar em uma coisa, quando a mola está sendo comprimida, ela tem uma velocidade que vai diminuindo até chegar ao ponto em que a velocidade é igual a zero e a o bloco não se move mais, certo?

Então como a energia cinética é dada pelo produto da massa pela velocidade ao quadrado dividida por dois:

E como a massa do bloco sempre será , a energia dependerá da mudança da velocidade !

Vamos supor a massa igual a , se no começo da compressão da mola, a velocidade é igual , a energia cinética inicial é igual a:

Quando terminar o movimento de compressão, a velocidade será , logo a energia cinética será:

Ou seja, a energia cinética diminui!

Enquanto a energia cinética está diminuindo, o bloco está comprimindo a mola, ou seja, está aumentando a deformação da mola.

Então como a energia potencial elástica é dada pelo produto da constante elástica da mola com a deformação ao quadrado dividida por dois:

E como a constante elástica da mola é sempre , a energia dependerá da mudança da deformação !

Vamos supor a constante elástica da mola igual a , se no começo da compressão da mola, a deformação é igual , a energia potencial elástica inicial é igual a:

Quando terminar o movimento de compressão, a deformação será , logo a energia potencial elástica será:

Ou seja, a energia potencial elástica aumenta!

Imagina comigo, que a massa comprimiu a mola e chegou a velocidade zero, depois disso, a mola vai empurrar a massa pra longe. Mas como que a massa vai adquirir velocidade para se mover para longe se a velocidade é zero?

Simples, a aceleração será máxima para empurrar essa massa e voltar com a mola para sua posição normal.

Logo nesse ponto, onde a velocidade é igual a zero, a aceleração é máxima!

Essa é uma típica questão de conservação de energia, ou seja, a soma de energia potencial e energia cinética iniciais é igual a soma da energia potencial e cinética finais:

Percebe que não tem nenhuma mola no problema, então vamos cortar a energia potencial elástica dessa igualdade:

Pessoal, o coco cai de uma altura, ou seja, tem uma energia potencial gravitacional inicial:

Podemos substituir os valores dados no enunciado:

A energia potencial gravitacional é igual a:

Logo:

Ficou preocupado, porque não sabemos a massa ? Não fique, eu vou te mostrar como vamos passar por cima disso!

Como o coco estava paradinho no coqueiro quando o movimento começou, a velocidade inicial é igual a zero:

Como a energia cinética inicial é igual a:

Podemos substituir os valores dados:

Logo a energia mecânica inicial total é igual a:

Substituindo os valores das energias que encontramos:

Agora no final do movimento, o coco está na altura do chão, então , logo a energia potencial gravitacional é:

Substituindo os valores:

Quando chegamos no chão, o coco está com uma velocidade que não sabemos e queremos encontrar. Logo a energia cinética será igual a:

Logo a energia mecânica final total é igual a:

Substituindo os valores das energias que encontramos:

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

Substituindo os valores que encontramos:

Percebeu que temos uma multiplicação de cada lado? E essas duas multiplicações tem a massa como um dos fatores, então podemos cortar a massa dos dois lados! Vamos nessa:

Agora só ficamos com um dado que não conhecemos que é a velocidade final , para achar esse valor, vamos isolar de um lado só da igualdade:

Precisamos extrair a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

Essa é a velocidade que o coco tem quando chega ao chão!

Faaala aí! Tudo certinho? Espero que sim porque vamos continuar nossos estudos sobre Conservação de Energia!

Bom, o enunciado diz pra gente que o sistema é conservativo. E o que isso quer dizer?

Quer dizer que a energia mecânica total permanece constante, ou seja,

Isso diz pra gente que:

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

Show de bola, mas quem são as nossas energias mecânicas inicial e final?

Bom, no começo temos um corpo abandonado (ou seja, com ) de uma altura de . Opa, então não temos velocidade e temos altura, ou seja

No caso do momento inicial temos a velocidade igual a zero, então a energia cinética é zero!

No enunciado não temos nada sobre molas, apenas uma altura, então vamos trabalhar só com a gravitacional, então temos que

Substituindo os valores do enunciado, temos que

Isso dá pra gente que

Beleza, vamos guardar esse resultado que jájá vamos usar!

Beleza, agora vamos pra cima da , a energia mecânica final.

No enunciado é pedido a energia cinética do corpo ao atingir o solo. Lembrando que a energia mecânica é dada por:

Se liga, ao atingir o solo, vamos ter uma velocidade desse corpo e – presta bem atenção aqui – a altura dele vai ser nula! Porque chegou no fundo do poço kkk, brincadeira chegou no chão então a altura vai ser zero, tranquilo?

Como não temos nada sobre molas e a altura é zero, a energia potencial final vai ser nula!

Show de bola, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

Igualando, temos que

Isso dá pra gente que

Opa, tudo certinho? Vamos com tudo pra cima dessa questão sobre Conservação de Energia!

No enunciado temos uma informação muito importante no final, que diz “Considere que o sistema é conservativo.” E o que isso quer dizer?

Quer dizer que a energia mecânica total permanece constante, ou seja,

Isso diz pra gente que:

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

Beleza, agora que a gente tá com isso fresquinho na cabeça, vamos partir pra cima da questão!

“Tranquilo, relembrei tudo, mas quem são as nossas energias mecânicas inicial e final?”

Vamos começar com a energia mecânica inicial, o enunciado diz que o corpo foi abandonado, ou seja, partiu do repouso quando isso acontece, podemos afirmar que a energia cinética nesse momento é zero!

No enunciado não temos nada sobre molas, apenas uma altura, então vamos trabalhar só com a gravitacional, então temos que

Substituindo os valores do enunciado, temos que

Isso dá pra gente que

Beleza, vamos segurar esse resultado aí!

Beleza, agora vamos pra cima da , a energia mecânica final.

No enunciado é pedido a velocidade do corpo ao atingir o solo. Lembrando que a energia mecânica é dada por:

Se liga, ao atingir o solo, vamos ter uma velocidade desse corpo e – presta bem atenção aqui – a altura dele vai ser nula!

Como não temos nada sobre molas e a altura é zero, a energia potencial final vai ser nula!

Substituindo a energia cinética pela fórmula dela, temos

Substituindo os valores que temos, ficamos com

Simplificando temos que

Show de bola, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

Igualando, temos que

Passando o dividindo, temos que

Simplificando, ficamos com

Agora, aplicando a raiz quadrada, vamos ter que

Isso dá pra gente que

Rápido né? Hehe mas é isso

Faaaaaaala aí! Vamo que vamo pra cima de mais uma questão sobre Conservação de Energia.

Vamos considerar que a energia mecânica é conservada, ou seja, ela permanece constante, então temos que:

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

Show, agora que já relembramos uns conceitos importantes vamos começar de fato o problema

Vamos começar olhando a energia mecânica inicial, temos que

Como aqui não temos diferença de altura e ainda não chegamos na mola, vamos ter apenas a energia cinética, então temo que

E como a energia cinética é , temos que

Substituindo pelos valores que tiramos do enunciado, ficamos com:

Temos que

Entao ficamos com

Simplificando ficamos com:

Show de bolinhas, agora vamos pra cima da , a energia mecânica final.

Ele pede a compressão máxima sofrida pela mola. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Porque vai ser o máximo que o bloco na velocidade dele vai conseguir apertar a mola, depois disso ela vai empurrar ele de volta.

Entao como não temos variação de altura e nem velocidade, temos que

Isso quer dizer que

Substituindo por , temos

Simplificando temos:

Belezinha, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

Igualando, temos que

Passando o dividindo, temos que

Simplificando, ficamos com

Agora, aplicando a raiz quadrada, vamos ter que

Vamos separar essas raízes! (podemos fazer isso porque é uma divisão pra soma não pode!)

Raíz de , beleza! Agora para raiz de vamos pegar o expoente de e dividir por dois, já que a raiz é a mesma coisa que elevar à

Vamos ter então

Isso da pra gente

Como , temos que

Isso nos dá

Que também podemos escrever como

Vamos conservar a energia do movimento da bola, transformando em deformação da mola! A conservação da energia mecânica diz que a soma de energia potencial e energia cinética iniciais é igual a soma da energia potencial e cinética finais:

Percebe que não tem nenhuma altura no problema, então vamos cortar a energia potencial gravitacional dessa igualdade:

Antes da bola atingir a mola, ela tem uma velocidade de , então existe uma energia cinética envolvida nesse movimento. Se a energia cinética tem a fórmula:

Podemos substituir os valores dados no enunciado:

Na expressão e encontraremos:

Elevando ao quadrado, temos:

Então a energia cinética será:

Encontramos a energia cinética inicial, mas quanto vale a energia potencial elástica inicial?

Como nada é dito sobre a deformação da mola, enquanto a bola ainda não colidiu contra a mola, podemos considerar que a mola está sem nenhuma deformação, logo inicialmente:

Como a energia potencial elástica é igual a:

Nós não sabemos a constante elástica da mola , mas sabemos que a deformação é nula, então vamos substituir:

Nós sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, então a energia armazenada inicialmente na mola é igual a zero!

Sabendo tanto a energia cinética inicial quanto a energia potencial elástica inicial, podemos descobrir o valor da energia mecânica inicial:

Substituindo os valores que já sabemos:

Após a bola atingir a mola, a velocidade vai diminuindo até chegar a zero, isso ocorre quando a mola chegou no seu limite de deformação . Então no final, a energia cinética será:

Podemos substituir os valores dados no enunciado e que encontramos:

Na expressão e encontraremos:

Logo a energia cinética final é igual a zero, pois a velocidade final é igual a zero!

Se já encontramos que quando a deformação da mola é máxima, a energia cinética é zero, quanto vale a energia potencial elástica? A energia potencial elástica é igual a:

Substituindo os valores finais:

Não esquece de passar a unidade de centímetros para metros! Então a energia potencial elástica final é igual a:

Elevando ao quadrado:

Sim, nós não temos ideia de quanto vale a constante , é exatamente ela que queremos calcular!

Logo a energia mecânica final total é igual a:

Substituindo os valores das energias que encontramos:

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

Substituindo os valores que encontramos:

Vamos resolver e encontrar ? Para isso, vamos passar tudo que for número que acompanha para um lado só:

Multiplicando por :

Então:

Realizando essa divisão:

Encontramos o valor final da constante elástica da mola!

Vamos imaginar essa cena? Eu acho que fica mais fácil!

A gente sabe que quando fala que o carrinho está inicialmente em repouso, a velocidade inicial é igual a zero:

Nós desejamos saber a velocidade final:

Porém os outros dados fornecidos pelo enunciado são:

Como a velocidade inicial é igual a zero, a energia cinética inicial é:

Substituindo os valores iniciais:

Logo a energia cinética inicial é igual a zero!

Mas e quanto a enérgica potencial gravitacional diretamente ligada a altura inicial do objeto? Bom, a energia potencial gravitacional é dada pela equação:

Substituindo os valores iniciais:

Encontramos o valor da energia potencial gravitacional!

Quando o trem atinge a altura do loop igual a , a energia potencial gravitacional final é igual a:

Já reduziu a energia potencial gravitacional, porque a altura diminui!

E quanto a velocidade nesse ponto? Nós não sabemos, mas vamos calcular a energia cinética final e ver quais são os dados que temos que calcular:

Substituindo a massa que já conhecemos:

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

Substituindo os valores que encontramos:

Vemos que a única variável da equação é a velocidade final que queremos encontrar, então vamos passar todos os números para o outro lado:

Resolvendo essa subtração temos:

Vamos passar o que está multiplicando para o outro lado dividindo e o que está dividindo, irá para o outro lado multiplicando:

Fazendo essas contas:

Precisamos então tirar a raiz quadrada dos dois lados da conta:

Que resulta em uma velocidade final igual a:

Não esquece a unidade, porque já chegamos na nossa resposta final!

Vamos pensar nessa figura:

Para descobrir a energia potencial gravitacional, vamos usar a fórmula:

Na qual dependemos dos valores da aceleração da gravidade , a massa e a altura .

Percebe que só temos a altura e o peso dado no enunciado:

Mas como calculamos o peso mesmo? Seguindo essa fórmula aqui:

Ué , esse produto está dentro da nossa energia potencial gravitacional:

Então ao invés de calcular a massa, vamos colocar o peso dentro da energia:

Logo:

Inicialmente a altura era igual a , logo a energia potencial gravitacional era igual a:

Depois que o atleta bate na cama elástica, ele sobe para uma altura nova igual a , então a nova energia potencial gravitacional se torna:

Percebeu que a energia final não é igual a energia inicial? Isso se deve a uma parte da energia que perdemos, essa parcela chamamos de energia dissipada, logo:

Substituindo os valores que encontramos para energias:

Como queremos descobrir o valor da energia dissipada, vamos isolar essa incógnita:

Isso é igual a:

Prontinho, chegamos no resultado que queríamos! Muito importante, não esqueça a unidade em Joules!

Vamos começar pensando em uma coisa, se a mola está inicialmente comprimida, logo ela armazena uma energia potencial elástica seguindo a seguinte fórmula:

Que leva em consideração a constante elástica e a deformação em metros.

O que nos disse o enunciado sobre essa primeira mola? Ele nos diz que a deformação é igual a:

Porém precisamos que essa unidade seja passada para metros para ser aplicada na fórmula, para essa transformação basta dividir por :

Outra informação é a constante elástica que é igual a:

Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial elástica:

Teremos:

Para começar a solucionar a energia potencial elástica, elevaremos ao quadrado:

Substituindo no cálculo novamente:

Multiplicando o valor da constante elástica pelo valor de :

Voltando ao cálculo, resumimos a energia a divisão:

Pronto, a energia potencial elástica inicial da mola é igual a .

Se a bolinha recebe essa energia potencial elástica que irá se transformar em energia cinética, ela se movimenta e adquire velocidade, porém o enunciado nos disse que ela dissipa energia, ou seja, ela perde essa energia.

Logo se inicialmente ela tinha uma energia igual a e dissipa ao longo do caminho, no final ela terá:

Essa energia final passará da bolinha para a segunda mola, deformando a mola! Logo a mola adquire uma energia igual a:

Uma informação dada pelo enunciado sobre essa segunda mola é sobre sua constante elástica:

Nós queremos saber a deformação dessa segunda mola:

Substituindo na fórmula da energia potencial elástica:

Teremos:

Para começar a calcular a deformação, precisamos passar o para o outro lado da igualdade multiplicando:

Realizando a multiplicação de vezes :

Logo:

Vamos passar agora o para o outro lado dividindo:

Essa divisão resulta em:

Para encontrar a deformação , precisamos retirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

Que é igual a:

Prontinho, pessoal, descobrimos a deformação da segunda mola!

Bom pessoal, vamos pensar em uma coisa, quando a mola está sendo comprimida, ela tem uma energia potencial elástica armazenada, correto? Quanto vale essa energia potencial elástica armazenada? Ela é medida de acordo com a fórmula:

Onde varia de acordo com a constante elástica da mola e a deformação em metros!

Vamos lembrar quais são os dados do enunciado, a mola tem a constante elástica igual a:

E uma compressão igual a:

Nós sabemos que a deformação deve ser dada em metros, logo temos que fazer essa transformação apenas dividindo por :

Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial elástica:

Teremos então:

Elevando ao quadrado:

Substituindo o valor no cálculo que estamos fazendo:

Vamos continuar essa multiplicação:

Retornando a fórmula:

Resumimos a uma última divisão igual a:

Beleza, encontramos a energia armazenada inicialmente em forma de energia potencial elástica!