Enunciado

45. O encanamento está sujeito à força de 80   N . Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto de aplicação da força, logo:

r → = 0,55 i + 0,4 j - 0,2 k   m

Passo 2

Mas antes de começar a usar esse método, temos que notar que a nossa força não está expressa em forma cartesiana, mas como o problema nos fornece os ângulos de inclinação do vetor força, podemos decompô-lo em suas componentes em x, y e z.

A componente em z é dado por:

F z = - F   s e n   30 °

= - 80 ⋅ 0,5 = - 40   N

Você pode ter se perguntado o porquê daquele sinal de menos, isso é simples, basta analisar a figura que você irá perceber que a componente z da força aponta para baixo, por isso o sinal.

Para analisar as componentes x e y da força, primeiro vamos projetar essa força do plano xy, para depois decompô-la em x e em y.

Assim essa força no plano xy é dada por:

F x y = F ⋅ cos ⁡ 30 °

= 80 ⋅ 0,87 = 69,6   N  

Agora vamos achar a componente em x:

F x = F x y ⋅ s e n   40 °

= 69,6 ⋅ 0,64 = 44,5   N

A componente em y é:

F y = F x y ⋅ cos ⁡ 40 °

= 69,6 ⋅ 0,76 = 52,9   N

Passo 3

Agora que já obtemos tudo que precisávamos, vamos calcular o momento em relação ao ponto A.

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

= i j k 0,55 0,4 - 0,2 44,5 52,9 - 40

= - 16 - - 10,6 i - - 22 - - 8,9 j + 29,1 - 17,8 k

= - 5,39 i + 13,1 j + 11,4 k

⇒ M 0 = ( - 5,39 i + 13,1 j + 11,4 k )   N   ⋅ m

Resposta

Assim o momento em relação ao ponto A expressado como vetor cartesiano é dado por:

M 0 = - 5,39 i + 13,1 j + 11,4 k   N   ⋅ m

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