Enunciado

Calcule uma seção tubular de peso mínimo para o eixo mostrado na figura abaixo de modo a obter uma frequência fundamental de vibração de 0,5 Hz. Considere m1 = 20 kg, m2 = 50 kg, m3 = 40 kg, 11 = I m, 12 = 3 m, 13 = 4 m, 14 = 2 me E = 2,07 X JOII N/m2..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Como está a família?? Tudo na paz?? Então vamos lá Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos o problema com as frequências e suas relações para cada um dos casos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar qual é a equação de influência de flexibilidade, ok?? Então vamos lá...

a 11 = 9 768 l 3 E I

a 22 = 1 48 l 3 E I

a 33 = 9 768 l 3 E I

Como as cargas são divididas de formas iguais pela viga, os coeficientes de flexibilidade nos extremos são iguais.

Analisado isso, a fórmula de Dunkerley é dada por:

1 ω 2 = a 11 m 1 + a 22 m 2 + a 33 m 3

ω = 0,028222   E I

Eaii?? Chegou bem até aqui?? Então bora substituir os valores e continuar nossa conta.

Passo 3

Pronto!! Agora vamos jogar tudo lá na nossa formulinha e achar nossos valores!!

ω = 12840,2346   I

I = ω 12840,2346 2

I = 59862,43 × 10 - 12   m 4

I = π 64   D 4 - d 4

D 4 - d 4 = 1,2195 × 10 - 6 m 4

r = D d → f = d 2 r 2 - 1

f = 11,0431 × 10 - 4 r 4 - 1   r 2 - 1

Como nosso objetivo é ter o valor máximo, iremos derivar e igualar a zero.

d f d r = 0

r 2 - 1 r 2 - r 2 + 1 = 0

r 2 - r 2 + 1 = 0 → n ã o   r e p r e s e n t a   f o r m a t o   c i r c u l a r

r 2 = 1 → é   c i r c u l a r ‼

D = 0,03323   m

Resposta

D = 0,03323   m

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