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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 50

Um centro de força fixo espalha uma partícula de massa m de acordo com a lei da força F r = k / r 3 . Se a velocidade inicial da partícula é u 0 , demonstre que a seção transversal de espalhamento é

σ θ = k π 2 π - θ m u 0 2 θ 2 2 π - θ 2 s e n θ

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão temos a força que está sobre uma partícula e a sua velocidade inicial e queremos a seção transversal de espalhamento. Para achar o espalhamento, vamos usar a energia potencial e a equação da seção transversal de espalhamento. Vamos aos cálculos.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos é a energia potencial, que encontramos integrando a força em relação a r . Assim

F = - ∂ U ∂ r

U = - ∫ F ( r ) d r

U = - ∫ k r 3   d r

U = - k   ∫ d r r 3

U = k 2 r 2

Passo 3

Agora com a energia potencial, fazemos uma mudança de variável z = 1 / r , substituímos na equação

Θ = ∫ r m i n ∞ b r 2 d r 1 - b 2 r 2 - U T 0 '

Onde T 0 ' = m u 0 2 . Fazendo a substituição da energia potencial e da energia cinética e fazendo as contas, vamos encontrar a equação

Θ = ∫ 0 z m a x b d z 1 - b 2 + k m u 0 2 z 2

Utilizando uma tabela de integrais e substituindo as variáveis, temos

Θ = π b 2 b 2 + k m u 0 2

Isolando b nessa equação temos

b Θ = k m u 0 2 2 Θ π 2 - 4 Θ 2

Mas temos a relação

θ = π - 2 Θ

Isolando Θ nessa equação acima e substituindo na expressão de b , encontramos

b θ = k m u 0 2 π - θ θ 2 π - θ

A seção transversal tem a forma

σ θ = b s e n θ d b d θ

Derivando a equação que achamos de b θ em relação a θ e substituindo na equação da seção transversal, obtemos o valor

σ θ = k π 2 π - θ m u 0 2 θ 2 2 π - θ 2 s e n θ

Resposta

Mais um problema feito. Bora pra mais um?