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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 55

Compare as frequências naturais fundamentais de vibração transversal de membranas com as seguintes formas:

(a) quadrada;

(b) circular;

(c) retangular com razão entre lados 2:1;

Considere que todas as membranas estejam presas ao redor de suas bordas e tenham a mesma área, material e tensão.

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Sabemos que a fórmula para a frequência natural de vibração, para membranas com formato quadrilátero, é dada por...

ω n 2 = c 2 π 2 1 a 1 2 + 1 b 1 2

E também sabemos que c é dado por...

c = P ρ

Passo 2

a) Agora, vamos nos concentrar nesse primeiro item. Nele, a membrana é quadrada, isto é tem os quatro lados iguais.

Ou seja;

a 1 = b 1 = a

Logo, ω n é dado por...

ω n 2 = c 2 π 2 1 a 1 2 + 1 b 1 2

ω n 2 = c 2 π 2 1 a 2 + 1 a 2

ω n 2 = c 2 π 2 2 a 2

Passo 3

c) Para esse item aqui, temos um retângulo com razão entre os lados 2 : 1 . Ou seja;

a 1 = 2 b 1

Só que como falado no enunciado, as membranas têm a mesma área. No caso do quadrado, como A = a 2 , podemos então obter a 1 e b 1 ...

a 1 ⋅ b 1 = a 2

2 b 1 2 = a 2

b 1 = a 2 2

Logo;

a 1 = a 2

E então, temos que.. ω n 2 = c 2 π 2 1 2 a 2 + 1 a 2 2

ω n 2 = c 2 π 2 1 2 a 2 + 2 a 2

ω n 2 = c 2 π 2 5 2 a 2

Passo 4

b) No caso da membrana circular, por sua vez, a frequência natural é dada por...

ω n 2 = γ 1 P ρ = c 2 γ 1

De acordo com o primeiro zero de Bessel, que a gente já viu na bibliografia, sabemos que...

γ 1 R = 2,404

E lembrando lá que todas as membranas tem a mesma área, então...

π R 2 = a 2

R = a π

Subsituindo esse R na fórmula anterior...

γ 1 R = 2,404

γ 1 = 2,404 R

γ 1 = 2,404 π a

γ 1 = 4,261 a

Ficamos com...

ω n 2 = c 2 γ 1

ω n 2 = 4,261 c 2 a

Pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a)

ω n 2 = c 2 π 2 2 a 2

b)

ω n 2 = 4,261 c 2 a

c)

ω n 2 = c 2 π 2 5 2 a 2

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