Considere o caso do espalhamento de Rutherford quando m 1 ≫ m 2 . Obtenha uma expressão aproximada da seção transversal diferencial no sistema de coordenadas LAB.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

No caso m 1 ≫ m 2 , o ângulo de espalhamento ψ para a partícula incidente medida no sistema LAB é muito pequeno para todas as energias. Podemos então antecipar que σ(ψ) se aproximará rapidamente de zero à medida que ψ aumenta.

A Eq. (9.140) dá a seção transversal de Rutherford em termos do ângulo de espalhamento no sistema CM:

σ C M θ = k 2 4 T 0 ' 2 1 s e n 4   θ / 2

Da Eq. (9.79) vemos que para m 1 ≫ m 2 :

T 0 ' = m 2 m 1 + m 2 T 0 ≅ m 2 m 1 T 0

Além disso, a partir da Eq. (9,69):

t g   ψ = s e n   θ m 1 m 2 + cos ⁡ θ ≅ m 2 m 1   s e n   θ

E, portanto, como se espera que ψ seja pequeno para todos os casos de interesse:

s e n   θ = m 1 m 2   t g   ψ ≅ m 1 m 2   ψ

Então:

cos ⁡ θ = 1 - m 1 m 2   ψ 2   e   s e n 2 θ 2 = 1 2 1 - 1 - m 1 m 2   ψ 2

(Observe que ψ ≪ 1 , mas como m 1 ≫ m 2 , a quantidade m 1 m 2   ψ não é necessariamente pequena comparada à unidade).

Reescrevendo a seção transversal CM em termos de ψ como:

σ C M ψ = m 1 k 2 m 2 T 0 2 1 - 1 - m 1 m 2   ψ 2 - 2

De acordo com a Eq. (9.129):

σ L A B ψ = σ C M θ   m 1 m 2 cos ⁡ ψ + 1 - m 1 m 2   ψ 2 2 1 - m 1 m 2   ψ 2

Podemos calcular σ L A B ψ com a ajuda de σ C M ψ e as implicações introduzidas no lado direito da última equação, pelo fato de que ψ ≪ 1 :

σ L A B ψ ≅ m 1 k 2 m 2 T 0 2   m 1 m 2 + 1 - m 1 m 2   ψ 2 2 1 - 1 - m 1 m 2   ψ 2 2 1 - m 1 m 2   ψ 2

E daí:

σ L A B ψ ≅   m 1 2 k 2 m 2 2 T 0 2 1 - 1 - m 1 m 2   ψ 2 2 1 - m 1 m 2   ψ 2

Esta expressão mostra que a seção transversal tem uma divergência de segunda ordem em ψ = 0. Para valores de ψ > m2/m1, a equação acima fornece valores complexos para σ L A B ψ . Este resultado se deve às aproximações envolvidas em sua derivação, tornando nosso resultado inválido para ângulos maiores que m2/m1.

Resposta

Ver passo a passo.