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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 2

Considere o movimento no problema anterior ocorrendo em um meio resistivo. Após 10 s osciIando, a amplitude máxima se reduz à metade do valor inicial. Calcule:

  1. O parâmetro de amortecimento β
  2. A frequência v 1 , (compare com a frequência não amortecida v 0 ) e
  3. O decremento do movimento.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações.

Item a

A partir do que o enunciado nos forneceu, temos que a afirmação de que em um certo tempo t = t1 a amplitude máxima diminuiu para metade do valor inicial significa que:

x e n = A 0 e - β t 1 = 1 2 A 0 = > e - β t 1 = 1 2 = > β t 1 = ln ⁡ 2 = > β = ln ⁡ 2 t 1

Como o tempo que leva para termos a redução da amplitude pela metade é de 10 s, temos que o coeficiente de amortecimento é:

β = ln ⁡ 2 10 ≅ 0,069   s - 1

Passo 2

Item b

Usando a equação:

ω 1 = ω 0 2 - β 2

Onde:

ω 0 = 2 π v 0

E do problema 3.1 sabemos que v0 = (10 / 2π) s-1. Logo:

ω 0 = 2 π ∙ 10 2 π = 10   s - 1 = > ω 1 = 10 2 - 0,069 2 ≅ 9,99976   s - 1

A frequência com o amortecimento fica:

v 1 = ω 1 2 π = 9,99976 2 π ≅ 1,5915   s - 1

Para compararmos as frequências, é necessário utilizar mais casas decimais, onde:

v 0 = 1,591549   s - 1   e   v 1 = 1,591511   s - 1

Evidenciando uma diferença muito pequena.

Passo 3

Item c

O decremento do movimento é definido como e β τ 1 onde τ 1 = 1 v 1 . Então:

e β τ 1 = exp ⁡ 0,069 ∙ 1 1,5915 ≅ 1,0445

*Obs.: Cuidado com os arredondamentos. Esse último resultado é obtido calculando tudo novamente e arredondando apenas uma vez ao final dos cálculos. Caso fossem usados os arredondamentos de cada item, o resultado do decremento seria de 1,04431.

Resposta

Ver passo a passo.