Uma corda lisa é colocada sobre um furo em uma mesa (Figura 9.D). Uma ponta da corda cai através do furo em t= 0, puxando continuamente o restante da corda. Determine a velocidade e a aceleração da corda como função da distância até a ponta da corda x. Ignore qualquer atrito. O comprimento total da corda é L.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de dinâmica de um sistema de partículas.

A partir do que o problema pede, temos:

S e n d o   σ = m a s s a c o m p r i m e n t o   e   F = d p d t = > m g = m v ˙ + m ˙ v

onde m é a massa de comprimento x da corda. Então:

m = σ x   e   m ˙ = σ x ˙ = > σ x g = σ x d v d t + σ x ˙ v

= > x g = x d v d x d x d t + v 2 = > x g = x v d v d t + v 2

Tentamos uma solução de lei de potência:

v = a x n = > d v d x = n a x n - 1

Daí, teremos que:

x g = x a x n n a x n - 1 + a x n 2 = > x g = a 2 n + 1 x 2 n

Como isso deve ser verdade para todo x, o expoente e o coeficiente de x devem ser os mesmos em ambos os lados da equação.

Assim temos que 2n = 1 ou n = 1/2. E obtemos:

g = a 2 1 2 + 1 = > a 2 = g 3 2 = > a = 2 g 3

Reescrevendo e integrando teremos que:

d v = 2 g 3 d x = > v = 2 g 3 x

Resposta

Ver passo a passo.