A curva xn+1 = f(xn) faz a interseção da curva xn+1= xn em x0. A expansão de xn+1 sobre x0 é xn+1 – x0 = β(xn – x0) onde β = (df/dx) em x = x0.

1. Descreva a sequência geométrica formada pelos valores sucessivos de xn+1 – x0.
2. Mostre que a interseção é estável quando lβl 1.

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações não lineares e caos.

A função y = f(x) intercepta a linha y = x em x = x0, ou seja, é definida como o ponto onde x0 = f(x). Agora expandindo f(x) em uma série de Taylor, de modo que próximo a x0 temos:

Onde:

Agora definindo . Se tivermos x1 muito próximo de x0, então ε1 deve ser muito pequeno, e podemos usar a expansão de Taylor. A equação da iteração xn+1 = f(xn) torna-se:

Se a aproximação da equação de f(x) permanece válida a partir do valor inicial, temos que:

Item a

Os valores formam a sequência geométrica:

Item b

Claramente, para temos a estabilidade, pois: .

Da mesma forma, temos uma sequência divergente quando |β| > 1, embora não seja realmente exponencialmente divergente, pois a aproximação de f(x) torna-se inválida após algum número de iterações, e normalmente o intervalo permitido é restrito a algum subconjunto dos números reais.