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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 28

Demonstre da Figura 11.9c que as componentes de ω ao longo dos eixos fixos (x’) são

Passo 1

Temos que ω ϕ = ϕ ˙ ao longo do eixo x 3 , ω θ = θ ˙ está ao longo da linha de nós, e ω ψ = ψ ˙ está ao longo do eixo x 3 , então:

ω ϕ ' = ϕ ˙ e 3 '

Em que e 3 ' é a unidade do vetor na direção x 3 ' .

Projetando a linha de nós nos eixos x 1 ' e x 2 ' :

ω θ ' = θ ˙ ( e 1 ' c o s ϕ + e 2 ' s e n   ϕ )

ω ψ '   tem componentes ao longo de todos os três x i ' . Primeiro, escrevemos ω ψ '   em termos de um componente ao longo do eixo x ' 3 e uma componente normal a este eixo:

ω ψ ' = ψ ˙ ( e 12 ' s e n θ + e 3 ' c o s θ )

Onde:

e 12 ' = e 1 ' s e n ϕ - e 2 ' c o s ϕ

Então:

ω ψ ' = ψ ˙ ( e 1 ' s e n θ ∙ s e n ϕ - e 2 ' s e n θ ∙ c o s ϕ + e 3 ' c o s θ )

Juntando os vários resultados:

ω 1 ' = θ ˙ c o s ϕ + ψ ˙ s e n θ ∙ c o s ϕ

ω 2 ' = θ ˙ s e n ϕ - ψ ˙ s e n θ ∙ c o s ϕ

ω 1 ' = ψ ˙ c o s θ + ϕ ˙

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)