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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 11

Derive as expressões das curvas de energia e perda de energia mostradas na Figura 3.8 para o oscilador amortecido. Para um oscilador ligeiramente amortecido, calcule a taxa média na qual o oscilador amortecido perde energia (isto é, calcule uma média temporal sobre um ciclo).

Passo 1

Eaí pessoal tudo tranquilo? Mais uma questão pra nós, vamos resolver!!

Vamos escrever a energia total em um oscilador como função do tempo t :

E t = 1 2 m x ˙ t 2 + 1 2 k x t 2

Onde:

x t = A e - β t cos ⁡ ω 1 t + δ

x ˙ t = A e - β t - β cos ⁡ ω 1 t - δ - ω 1 sin ⁡ ω 1 t - δ

Onde sabemos que:

ω 1 2 = ω 0 2 - β 2 e ω 0 = k m

Passo 2

Reescrevendo a expressão para a energia:

E t = A 2 2 e - 2 β t m β 2 + k cos 2 ⁡ ω 1 t - δ + m ω 1 2 sin 2 ⁡ ω 1 t - δ + 2 m β ω 1 sin ⁡ ω 1 t - δ cos ⁡ ω 1 t - δ

E t = m A 2 2 e - 2 β t β 2 cos ⁡ 2 ω 1 t - δ + β ω 0 2 - β 2 sin ⁡ 2 ω 1 - δ + ω 0 2

Fazendo a derivada d E / d t

Ficamos com:

d E d t = m A 2 2 e - 2 β t 2 β ω 0 2 - 4 β 3 cos ⁡ 2 ω 1 t - δ - 4 β 2 ω 0 2 - β 2 sin ⁡ 2 ω 1 - δ - 2 β ω 2

Passo 3

A condição pedida no problema, fala de um oscilador levemente amortecido, ou seja, β ≪ ω 0

O que significa que o oscilador completa alguns períodos antes da amplitude diminuir consideravelmente, o que equivale a dizer que o termo e - 2 β t não diminui a cada período e em comparação com os termos constantes os senos e cossenos se aproximarão de zero. Assim:

d E d t = - m β ω 0 2 A 2 e - 2 β t

Resposta

d E d t = - m β ω 0 2 A 2 e - 2 β t