Enunciado

Determine a frequência natural fundamental de vibração de uma viga uniforme de comprimento l   fixa em uma extremidade e simplesmente apoiada na outra extremidade. Considere que a forma de deflexão da viga seja a mesma que a curva de deflexão estática sob seu próprio peso.

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa! É o mesmo esqueminha galera

Sabemos que a equação de solução da viga, é dada por...

W x = w 0 x 2 48 E I l - x 2 x - 3 l = c 0 48 E I ( 5 l x 3 - 2 x 4 - 3 l x 2 )

Vamos então, como é de prache, tirar a primeira e a segunda derivadas disso...

Dessa forma;

d W d x = c 0 48 E I ( 15 l x 2 - 8 x 3 - 6 l 2 x )

d 2 W d x 2 = c 0 8 E I ( 5 l x - 4 x 2 - l 2 )

Passo 2

E pra calcular a frequência natural... A gente já tá careca de saber que tem que usar a fórmula abaixo...

ω n 2 = N D

Onde N e D são duas constantes dadas por...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x

Passo 3

Agora é só calcular...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x =

= E I ∫ 0 l c 0 8 E I ( 5 l x - 4 x 2 - l 2 ) 2 d x =

= c 0 2 l 5 320 E I

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x =

= ∫ 0 l ρ A c 0 48 E I 5 l x 3 - 2 x 4 - 3 l x 2 2 d x =

= 1,3090 ⋅ 10 - 5 c 0 2 ρ A l 9 E 2 I 2

E depois, substituir...

ω n 2 = N D

Tirando a raiz...

ω n = 15,4182 E I ρ A l 4

Voilá! Obtemos a nossa resposta!

Resposta

ω n = 15,4182 E I ρ A l 4

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