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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 57

Determine a frequência natural fundamental de uma viga fixa-fixa usando a curva de deflexão estática...

W x = c 0 x 2 24 E I l - x 2

Onde c 0 é uma constante...

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

De cara já sabemos que a equação de solução da viga, é dada por...

W x = c 0 x 2 24 E I l - x 2

Vamos então, como é de prache, tirar a primeira e a segunda derivadas disso... Pra isso, temos que usar a regra do produto...

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Dessa forma;

d W d x = c 0 24 E I 2 x l - x 2 + x 2 ⋅ 2 l - x ⋅ - 1

d W d x = c 0 24 E I 2 x l 2 - 4 l x 2 + 2 x 3 - 2 x l 2 + 2 x 3

d W d x = c 0 24 E I ( 2 x l 2 - 6 l x 2 + 4 x 3 )

d 2 W d x 2 = d d x c 0 24 E I ( 2 x l 2 - 6 l x 2 + 4 x 3 )

d 2 W d x 2 = c 0 24 E I ⋅ d d x ( 2 x l 2 - 6 l x 2 + 4 x 3 )

d 2 W d x 2 = c 0 24 E I ⋅ ( 2 l 2 - 12 l x + 12 x 2 )

Mas calma que cê já vai entender o porquê disso aí!

Passo 2

Outra coisa também que a gente sabe é que...

ω n 2 = N D

Onde N e D são duas constantes dadas por...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x

Viu aí! É por isso que a gente teve que tirar todas aquelas derivadas no P a s s o   1 !

Passo 3

Agora é só calcular...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x =

= E I ∫ 0 l c 0 24 E I ⋅ 2 l 2 - 12 l x + 12 x 2 2 d x = c 0 2 E I 576 E 2 I 2 ∫ 0 l 2 l 2 - 12 l x + 12 x 2 2 d x =

= c 0 2 576 E I ∫ 0 l 144 x 4 - 288 l x 3 + 192 l 2 x 2 - 48 l 3 x + 4 l 4 d x =

= c 0 2 576 E I 144 x 4 5 - 288 l x 4 4 + 192 l 2 x 3 3 - 48 l 3 x 2 2 + 4 l 4 x 0 l = c 0 2 576 E I ⋅ 8 10 =

= c 0 2 720 E I

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x =

= ∫ 0 l ρ A c 0 x 2 24 E I l - x 2 2 d x = c 0 2 ρ A 576 E 2 I 2 ∫ 0 l x 2 l 2 + x 4 - 2 l x 3 2 d x =

= c 0 2 ρ A 576 E 2 I 2 ∫ 0 l x 8 - 4 l x 7 + 6 l 2 x 6 - 4 l 3 x 5 + l 4 x 4 d x =

= c 0 2 ρ A 576 E 2 I 2 ⋅ x 9 9 - 4 l x 8 8 + 6 l 2 x 7 7 - 4 l 3 x 6 6 + l 5 x 5 5 0 l =

= c 0 2 ρ A l 9 362880 E 2 I 2

E depois, substituir...

ω n 2 = N D

ω n 2 = c 0 2 720 E I c 0 2 ρ A l 9 362880 E 2 I 2 = 504 E I ρ A l 4

Tirando a raiz...

ω n = 504 E I ρ A l 4 = 22,445 E I ρ A l 4

Voilá! Obtemos a nossa resposta!

Resposta

ω n = 60 E I 0 ρ A 0 l 4

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