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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 123

Determine por integração direta o momento de inércia em relação ao eixo y do corpo tetraédrico mostrado na figura, considerando qu ele tem massa específica uniforme e massa m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A primeira coisa a se fazer é representar as retas x e z em função de y . Temos:

x = a h y + a

E:

z = b h y + b

Por definição também vamos precisar do diferencial de massa:

d m = ρ d V

d m = ρ A d x

d m = ρ x z d x

d m = ρ a h y + a b h y + b d y

Integrando, teremos:

m = ∫ 0 b ρ a h y + a b h y + b d y

m = 1 6 ρ a b h

Passo 2

Como a seção transversal do componente é triangular, podemos utilizar as equações de inércia do triângulo:

I = 1 12 z x 3

De forma diferencial, temos:

d I = ρ t I

d I = ρ d y 1 12 z x 3

Passo 3

Para o eixo y , vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

d I y = d I x + d I z

Substituindo d m e z na equação, temos:

d I y = 1 12 ρ a b 1 + y h 2 a 2 + b 2 1 + y h 3 d y

Substituindo:

ρ = 6 m a b h

Temos:

d I y = m 2 h a 2 + b 2 1 + y h 4

Intergando, teremos:

I x = 1 10 m b 2 + a 2

Resposta

I x = 1 10 m b 2 + a 2

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