Enunciado

Determine a resposta do sistema massa-mola mostrado na Figura 6.6(a) para k 1 = k , k 2 = 2 k , k 3 = 3 k , m 1 = m , m 2 = 2 m e m 3 = 3 m c o m ⁡ k = 10 4   N . m e m = 2   k g quando uma força, na forma de um pulso retangular de magnitude 1.000   N e duração 0,25   s , é aplicada à massa m 1 na direção de x 1 .

Passo 1

m = 2 k g , k = 10,000 N m

k m = 10000 2 = 70.7107

[ m ] = 2 1         0         0   0         2         0   0         0         3  

[ k ] = 10 4 3         - 2         0   - 2         5         - 3   0         - 3         3  

A partir da solução do Problema 6.46, encontramos as frequências naturais e formas modais como:

ω 1 = 0.337627 k m ; ω 2 = 1.414221 k m ; ω 3 = 2.094278 k m

Ou ω 1 = 23.8738 r a d / s e c ; ω 2 = 100.000 r a d / s e c ; ω 3 = 148.0879 r a d / s e c

X → ( 1 ) = a 1.0   1.4430   1.6286   ; X → ( 2 ) = b 1.0   0.5   - 0.5   ; X → ( 3 ) = c 1.0   - 0.6930   0.2047  

Ortonormalização de modos:

x → ( 1 ) τ [ m ] X → ( 1 ) = 26.2430 a 2 = 1   o u   z = 0.1952

X → ( 2 ) τ [ m ] X → ( 2 ) = 4.5 b 2 = 1   o u   b = 0.4714

X → ( 3 ) τ ⋅ [ m ∣ X → ( 3 ) = 4.1724 c 2 = 1   o u   c = 0.4896

Matriz modal

[ X ∣ = X → ( 1 )         X → ( 2 )         X → ( 3 )   = 0.1952         0.4714         0.4896   0.2817         0.2357         - 0.3393   0.3179         - 0.2357         0.1002   (1)

F → ( t ) = F 1 ( t )   0   0   (2)

Q → ( t ) = [ X ] T F → ( t ) = 0.1952 F 1 ( t )   0.4714 F 1 ( t )   0.4896 F 1 ( t )   (3)

Solução de qi (t) sem condições iniciais:

q i ( t ) = 1 ω I ∫ 0 t   Q i ( τ ) s i n ⁡ ω I ( t - τ ) d τ ; i = 1,2 , 3 (4)

F 1 ( t ) = F 0 u ( t ) - u t - t 0

Em que F 0 = 1000   N , t 0 = 0.25 s e c , and u ( t ) and u t - t 0 são funções de etapa da unidade:

u ( t ) = { 0         ; t < 0   1         ; t > t 0  

u t - t 0 = { 0         ; t < t 0   1         ; t > t 0  

Eq(3) dão

Q → ( t ) = Q 1 ( t )   Q 2 ( t )   Q 3 ( t )   = 195.2 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }   471.4 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }   489.6 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }   (5)

E eq(4) rende

q 1 ( t ) = 0.342 5 ( 1 - c o s ⁡ 23.8738 t ) ; 0 < t ≤ 0.25 s e c

= 0.3425 [ c o s ⁡ 23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 23.8738 t ] ; t ≥ 0.25   s e c

q 2 ( t ) = 0.04714 ( 1 - c o s ⁡ 100.0006 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c

= 0.04714 [ c o s ⁡ 100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 100.0006 t ] t ≥ 0.25 s e c

q 3 ( t ) = 0.02232 ( 1 - c o s ⁡ 148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c

= 0.02232 [ c o s ⁡ 148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c

O deslocamento físico das massas é

x → ( t ) = ( X ] q → ( t )

Passo 2

Que podem ser expressas por

x 1 ( t ) = 0.06686 ( 1 - c o s ⁡ 23.8738 t ) + 0.02222 ( 1 - c o s ⁡ 100.0006 t )

+ 0.01093 ( 1 - c o s ⁡ 148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c

= 0.06686 [ c o s ⁡ 23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 23.8738 t

+ 0.02222 [ c o s ⁡ 100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 100.0006 t ]

+ 0.01093 [ c o s ⁡ 148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c

x 2 ( t ) = 0.09648 ( 1 - c o s ⁡ 23.8738 t ) + 0.01 111 ( 1 - c o s ⁡ 100.0006 t )

- 0.007573 ( 1 - c o s ⁡ 148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c

= 0.09648 [ c o s ⁡ 23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 23.8738 t ]

+ 0.01111 [ c o s ⁡ 100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 100.0006 t ]

- 0.007573 [ c o s ⁡ 148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c

x 3 ( t ) = 0.1089 ( 1 - c o s ⁡ 23.8738 t ) - 0.01111 ( 1 - c o s ⁡ 100.0006 t )

+ 0.002236 ( 1 - c o s ⁡ 148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25   s e c

= 0.1089 [ c o s ⁡ 23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 23.8738 t

- 0.01111 [ c o s ⁡ 100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 100.0006 t ]

+ 0.002236 [ c o s ⁡ 148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s ⁡ 148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c

Resposta

t ≥ 0.25 s e c

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