m = 2 k g , k = 10,000 N m
k m = 10000 2 = 70.7107
[ m ] = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 3
[ k ] = 10 4 3 - 2 0 - 2 5 - 3 0 - 3 3
A partir da solução do Problema 6.46, encontramos as frequências naturais e formas modais como:
ω 1 = 0.337627 k m ; ω 2 = 1.414221 k m ; ω 3 = 2.094278 k m
Ou
ω 1 = 23.8738 r a d / s e c ; ω 2 = 100.000 r a d / s e c ; ω 3 = 148.0879 r a d / s e c
X → ( 1 ) = a 1.0 1.4430 1.6286 ; X → ( 2 ) = b 1.0 0.5 - 0.5 ; X → ( 3 ) = c 1.0 - 0.6930 0.2047
Ortonormalização de modos:
x → ( 1 ) τ [ m ] X → ( 1 ) = 26.2430 a 2 = 1 o u z = 0.1952
X → ( 2 ) τ [ m ] X → ( 2 ) = 4.5 b 2 = 1 o u b = 0.4714
X → ( 3 ) τ ⋅ [ m ∣ X → ( 3 ) = 4.1724 c 2 = 1 o u c = 0.4896
Matriz modal
[ X ∣ = X → ( 1 ) X → ( 2 ) X → ( 3 ) = 0.1952 0.4714 0.4896 0.2817 0.2357 - 0.3393 0.3179 - 0.2357 0.1002
(1)
F → ( t ) = F 1 ( t ) 0 0
(2)
Q → ( t ) = [ X ] T F → ( t ) = 0.1952 F 1 ( t ) 0.4714 F 1 ( t ) 0.4896 F 1 ( t )
(3)
Solução de qi (t) sem condições iniciais:
q i ( t ) = 1 ω I ∫ 0 t Q i ( τ ) s i n ω I ( t - τ ) d τ ; i = 1,2 , 3
(4)
F 1 ( t ) = F 0 u ( t ) - u t - t 0
Em que
F 0 = 1000 N , t 0 = 0.25 s e c
, and
u ( t )
and
u t - t 0
são funções de etapa da unidade:
u ( t ) = { 0 ; t < 0 1 ; t > t 0
u t - t 0 = { 0 ; t < t 0 1 ; t > t 0
Eq(3) dão
Q → ( t ) = Q 1 ( t ) Q 2 ( t ) Q 3 ( t ) = 195.2 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) } 471.4 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) } 489.6 { u ( t ) - u ( t - 0.25 ) }
(5)
E eq(4) rende
q 1 ( t ) = 0.342 5 ( 1 - c o s 23.8738 t ) ; 0 < t ≤ 0.25 s e c
= 0.3425 [ c o s 23.8738 ( t - 0.25 ) - c o s 23.8738 t ] ; t ≥ 0.25 s e c
q 2 ( t ) = 0.04714 ( 1 - c o s 100.0006 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c
= 0.04714 [ c o s 100.0006 ( t - 0.25 ) - c o s 100.0006 t ] t ≥ 0.25 s e c
q 3 ( t ) = 0.02232 ( 1 - c o s 148.0879 t ) ; 0 < t < 0.25 s e c
= 0.02232 [ c o s 148.0879 ( t - 0.25 ) - c o s 148.0879 t ] ; t ≥ 0.25 s e c
O deslocamento físico das massas é
x → ( t ) = ( X ] q → ( t )
