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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 41

Uma espaçonave é "estacionada" em órbita circular a 200 km acima da superfície da Terra. Queremos utilizar uma transferência de Hohmann para enviar a espaçonave para a órbita da Lua. Quais serão o valor total de ∆ v e o tempo de transferência necessários?

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nesse exercício temos uma transferência de uma órbita na Terra pra uma na Lua. Pra isso, temos que fornecer uma velocidade pra se escapar da órbita da Terra e ir pra órbita na lua.

Passo 2

Calculamos isso através da equação de velocidade de transmissão, descrita por

∆ v = ∆ v 1 + ∆ v 2

∆ v = v t 1 - v 1 + v t 2 - v 2

Sendo v t 1 a velocidade de transmissão para sair da órbita da Terra, v 1 a velocidade que a espaçonave está na órbita na Terra, v t 2 a velocidade de transmissão para ir pra órbita da lua e v 2 a velocidade de órbita na lua.

Calculamos essas quantidades pelas equações

v t 1 = 2 G M e r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2

v 1 = G M e r 1

v t 2 = 2 G M e r 2 ⋅ r 1 r 1 + r 2

v 2 = G M e r 2

Onde G = 6,67 ⋅ 10 - 11 N m 2 / k g 2 é a constante universal da gravitação de Newton, M e = 5,98 ⋅ 10 24 k g é a massa da Terra, r 1 = 200 k m + r e , sendo r e = 6,37 ⋅ 10 6 m o raio da Terra e r 2 = 3,84 ⋅ 10 8 m a distância da Terra até a lua.

Substituindo os valores e fazendo as contas, encontramos

∆ v = 3966 m / s

Passo 3

Para encontrar o tempo de transmissão, utilizamos a equação

T = π 1 G M e r 1 + r 2 2 3 2

De novo, só substituir os valores e fazer as contas, achamos

T = 429.000 s ≈ 5   d i a s

Resposta

A velocidade de transmissão é de ∆ v = 3966 m / s e o tempo da transmissão é de T ≈ 5   d i a s .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?