Enunciado

Estime a frequência fundamental de uma viga em balanço cuja área da seção transversal e momento de inércia variam conforme

A x = A 0 x l e I x = I 0 x l

onde x é medido a partir da extremidade livre.

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Da nossa bibliografia, sabemos que a equação de solução de vibração para uma viga em balanço, é dada por...

w x = 1 - x l 2

Vamos então, tirar a primeira e a segunda derivadas disso...

d w d x = 2 1 - x l ⋅ - 1 l

d 2 w d x 2 = d d x 2 1 - x l ⋅ - 1 l = - 2 l 2

Mas calma que cê já vai entender o porquê disso aí!

Passo 2

Outra coisa também que a gente sabe é que...

ω n 2 = N D

Onde N e D são duas constantes dadas por...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x

Viu aí! É por isso que a gente teve que tirar todas aquelas derivadas no P a s s o   1 !

Passo 3

Agora é só calcular...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x =

= ∫ 0 l E I 0 x l - 2 l 2 2 d x = E I 0 4 l 5 ∫ 0 l x d x = E I 0 4 l 5 ⋅ x 2 2 0 l =

= E I 0 2 l 3

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x =

= ∫ 0 l ρ A 0 x l 1 - x l 2 2 d x = ∫ 0 l ρ A 0 x l 1 - x l 4 d x =

= ρ A 0 l ∫ 0 l x - 4 x 2 l + 6 x 3 l 2 - 4 x 4 l 3 + x 5 l 4 d x =

= ρ A 0 l ⋅ x 2 2 - 4 x 3 3 l + 6 x 4 4 l 2 - 4 x 5 5 l 3 + x 6 6 l 4 0 l =

= ρ A 0 l ⋅ l 2 2 - 4 l 3 3 + 3 l 2 2 - 4 l 2 5 + l 2 6 0 l = ρ A 0 l 30

E depois, substituir...

ω n 2 = N D

ω n 2 = E I 0 2 l 3 ρ A 0 l 30 = 60 E I 0 ρ A 0 l 4

Tirando a raiz...

ω n = 60 E I 0 ρ A 0 l 4

Voilá! Obtemos a nossa resposta!

Resposta

ω n = 60 E I 0 ρ A 0 l 4

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