Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 13

Uma partícula se move em um meio sob a influência de uma força de retardo igual a

F = - m k ( v 3 + a 2 v ) k e a são constantes. Mostre que para qualquer valor de velocidade inicial, a partícula nunca se moverá por uma distância maior do que π 2 k a e que ela entra em repouso somente para t → ∞ .

Passo 1

Sem muito papo, vamos para o que interessa: resolver a questão. 1, 2, 3 já.

m d v d t = - m k v 3 + a 2 v

∫ d v v ( a 2 + v 2 ) = - k ∫ d t

A integral acima é tabelada: só precisamos jogar a solução:

1 2 a 2 ln ⁡ v 2 a 2 + v 2 = - k t + C

v 2 a 2 + v 2 = C 1 e - A t                                               E q . ( 1 )

Onde A = 2 a k 2 e C 1 é a constante de integração, que podemos encontrar, usando as condições iniciais. Em t = 0 , v = v 0

C 1 = v 0 2 a 2 + v 0 2

Passo 2

Substituindo C 1 na equação (1) e isolando v ficamos com:

v = d x d t = a 2 C 1 e - A t 1 - C 1 e - A t 1 / 2

d x = ∫ a 2 C 1 e - A t 1 - C 1 e - A t 1 / 2 d t

A solução dessa integral consta lá no apêndice E do livro. Substituindo direitinho os valores na expressão tabelada, chegamos em:

x = 1 2 a k arcsin ⁡ - v 2 + a 2 v 2 + a 2 - arcsin ⁡ - v 0 2 + a 2 v 0 2 + a 2

Vamos avaliar essa expressão para quando t → ∞ o que implica que v → ∞

E também para v 0 → ∞

lim t → ∞ ⁡ x = 1 2 a k lim v → ∞ ⁡ arcsin ⁡ - v 2 + a 2 v 2 + a 2 - lim v 0 → ∞ ⁡ arcsin ⁡ - v 0 2 + a 2 v 0 2 + a 2

lim t → ∞ ⁡ x = 1 2 a k π 2 - π 2 = π 2 a k

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

A bala de 60g é disparada horizontalmente com uma velocidade v = 300m / s na direção da barra esbelta de um pêndulo de 1,5k g inicialmente em repouso. Se a bala se encrava na barra, calcule a velocida
As duas esferas estão presas à haste leve rígida, que está suspensa por um cordão a partir do suporte acima dela. Se as esferas e a haste, inicialmente em repouso, são atingidas com a força F = 60N ,
Um pequeno foguete com massa inicial m 0 é lançado verticalmente para cima, próximo à superfície da Terra ( g constante), e a taxa de exaustão de massa m ' e a velocidade relativa de exaustão u são co
Um foguete de dois estágios é lançado verticalmente para cima e está acima da atmosfera quando a combustão do primeiro estágio se extingue e o segundo estágio se separa e entra em ignição. O segundo e
O foguete apresentado é projetado para testar o funcionamento de um novo sistema de orientação. Quando ele atinge uma determinada altitude fora da influência efetiva da atmosfera terrestre, sua massa