Enunciado

Uma partícula se move em um meio sob a influência de uma força de retardo igual a

F = - m k ( v 3 + a 2 v ) k e a são constantes. Mostre que para qualquer valor de velocidade inicial, a partícula nunca se moverá por uma distância maior do que π 2 k a e que ela entra em repouso somente para t → ∞ .

Passo 1

Sem muito papo, vamos para o que interessa: resolver a questão. 1, 2, 3 já.

m d v d t = - m k v 3 + a 2 v

∫ d v v ( a 2 + v 2 ) = - k ∫ d t

A integral acima é tabelada: só precisamos jogar a solução:

1 2 a 2 ln ⁡ v 2 a 2 + v 2 = - k t + C

v 2 a 2 + v 2 = C 1 e - A t                                               E q . ( 1 )

Onde A = 2 a k 2 e C 1 é a constante de integração, que podemos encontrar, usando as condições iniciais. Em t = 0 , v = v 0

C 1 = v 0 2 a 2 + v 0 2

Passo 2

Substituindo C 1 na equação (1) e isolando v ficamos com:

v = d x d t = a 2 C 1 e - A t 1 - C 1 e - A t 1 / 2

d x = ∫ a 2 C 1 e - A t 1 - C 1 e - A t 1 / 2 d t

A solução dessa integral consta lá no apêndice E do livro. Substituindo direitinho os valores na expressão tabelada, chegamos em:

x = 1 2 a k arcsin ⁡ - v 2 + a 2 v 2 + a 2 - arcsin ⁡ - v 0 2 + a 2 v 0 2 + a 2

Vamos avaliar essa expressão para quando t → ∞ o que implica que v → ∞

E também para v 0 → ∞

lim t → ∞ ⁡ x = 1 2 a k lim v → ∞ ⁡ arcsin ⁡ - v 2 + a 2 v 2 + a 2 - lim v 0 → ∞ ⁡ arcsin ⁡ - v 0 2 + a 2 v 0 2 + a 2

lim t → ∞ ⁡ x = 1 2 a k π 2 - π 2 = π 2 a k

Resposta

Demonstração