Se um pêndulo físico tem o mesmo período de oscilação quando pivotado sobre qualquer um de dois pontos a distâncias diferentes do centro de massa, demonstre que o comprimento do pêndulo simples com o mesmo período é igual à soma das separações entre os pontos de pivotamento e o centro de massa. Esse tipo de pêndulo físico, denominado pêndulo reversível de Kater, foi durante algum tempo a forma mais precisa (cerca de 1 parte em 10 5 ) de medição da aceleração da gravidade. Discuta as vantagens do pêndulo de Kater em relação a um pêndulo simples para esse fim.

Passo 1

Suspendendo o pêndulo à um ponto P que está a uma distância l do centro de massa. A inercia rotacional em relação ao eixo que atravessa P é:

I = M R 0 2 + M l ²

Onde R 0 é o raio de giração sobre o centro de massa, então a Lagrangiana do sistema é:

L = T - U = I θ ˙ 2 2 - M g l 1 - c o s θ

A equação de Lagrange para θ :

I θ ¨ = M g l s e n θ = 0

Para pequenas oscilações, s e n θ ≅ θ , então:

θ ¨ + M g l I θ = 0

θ ¨ + g l R 0 2 + l ² θ = 0

Passo 2

O período da oscilação é:

τ = 2 π ω = 2 π R 0 2 + l 2 g l

Se localizarmos outro ponto P ' que está a uma distância l ' do centro de massa tal que o período de oscilação também é τ , podemos escrever:

R 0 2 + l 2 g l = R 0 2 + l ' 2 g l '

Onde R 0 2 = l l ' . Então o período será:

τ = 2 π l l ' + l 2 g l = 2 π l + l ' g

Este é o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento l + l ' . Usando este método, não é preciso medir a inércia rotacional do pêndulo utilizado; nem se enfrenta o problema de aproximação física de um pêndulo simples. Por outro lado, é necessário que se localize os dois pontos para os quais τ é o mesmo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)