Se um pêndulo físico tem o mesmo período de oscilação quando pivotado sobre qualquer um de dois pontos a distâncias diferentes do centro de massa, demonstre que o comprimento do pêndulo simples com o mesmo período é igual à soma das separações entre os pontos de pivotamento e o centro de massa. Esse tipo de pêndulo físico, denominado pêndulo reversível de Kater, foi durante algum tempo a forma mais precisa (cerca de 1 parte em ) de medição da aceleração da gravidade. Discuta as vantagens do pêndulo de Kater em relação a um pêndulo simples para esse fim.
Passo 1
Suspendendo o pêndulo à um ponto que está a uma distância do centro de massa. A inercia rotacional em relação ao eixo que atravessa é:
Onde é o raio de giração sobre o centro de massa, então a Lagrangiana do sistema é:
A equação de Lagrange para :
Para pequenas oscilações, , então:
Passo 2
O período da oscilação é:
Se localizarmos outro ponto que está a uma distância do centro de massa tal que o período de oscilação também é , podemos escrever:
Onde . Então o período será:
Este é o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento . Usando este método, não é preciso medir a inércia rotacional do pêndulo utilizado; nem se enfrenta o problema de aproximação física de um pêndulo simples. Por outro lado, é necessário que se localize os dois pontos para os quais é o mesmo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)