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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 44

O potencial de Yukawa adiciona um termo exponencial ao potencial de Coulomb de longo alcance, encurtando bastante a faixa do potencial de Coulomb. Ele tem grande utilidade em cálculos atômicos e nucleares.

V r = V 0 r 0 r e - r r 0 = - k r e - r a

Determine a trajetória de uma partícula em órbita limitada do potencial de Yukawa para primeira ordem em r / a .

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Essa questão vai ser um pouco mais trabalhosa por pedir a trajetória, mas vamos com calma que vai dar certo.

Só uma observação que quando ele diz que o movimento é feito em uma órbita limitada, temos um movimento ligado e assim, E = m v 2 2 + V < 0 .

Passo 2

A equação para a órbita de uma partícula em força central é

θ r = ∫ r m i n r l r 2 d r 2 μ E - V l 2 2 μ r 2

θ r = l 2 μ ∫ r m i n r 1 r 2 ⋅ d r E + k e - r a r - l 2 2 μ r 2

Expandindo essa raiz em primeira ordem em primeira ordem em r / a obtemos

θ r ≈ l 2 μ ∫ d r r 2 E + k r - l 2 2 μ r 2 - k a

θ r = l 2 μ ⋅ ∫ d r r 2 E - k a + k r - l 2 2 μ r 2

Essa expressão da órbita é a que conhecemos da elipse, com energia E - k a e se movendo em um potencial - k r . Assim, a órbita vai ser

α r = 1 + ϵ c o s θ

Onde α = l 2 μ k e ϵ = 1 + 2 l 2 μ k 2 ⋅ E - k a

Assim, temos que

Se 0 < ϵ < 1 temos uma órbita elíptica. Se ϵ = 0 a órbita é circular.

Resposta

A trajetória é elíptica se 0 < ϵ < 1 e é circular se ϵ = 0 .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?