Um satélite se move em órbita circular de raio R sobre a Terra. Por qual fração sua velocidade vetorial v deverá ser aumentada para que o satélite fique em uma órbita elíptica com r m i n =   R e r m a x = 2 R ?

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Para essa questão, temos uma órbita circular e queremos uma órbita elíptica com raio mínimo de R e raio máximo de 2 R .

Podemos encontrar isso pela velocidade orbital e depois usando a conservação do momento angular e a conservação da energia. Vamos as contas.

Passo 2

Para achar a velocidade orbital, igualamos a força gravitacional a força centrípeta. Então temos

F G = F c

G M m R 2 = m v 0 2 R

Isolando v 0 temos

v 0 = G M R

Agora aplicando a conservação do momento angular, temos

m R v 1 = m 2 R v 2

v 1 = 2 v 2

v 2 = v 1 2

Com a conservação da energia, temos

m v 1 2 2 - G M m R = m v 2 2 2 - G M m 2 R

v 1 2 2 - G M R = 1 2 v 1 2 2 - G M 2 R

v 1 2 2 - v 1 2 8 = G M R - G M 2 R

3 v 1 2 8 = G M 2 R

3 v 1 2 4 = G M R

v 1 2 = 4 G M 3 R

v 1 = 4 3 ⋅ G M R

Comparando v 0 e v 1 vemos que a velocidade precisa mudar em um fator de 4 3 .

Resposta

A velocidade precisa aumentar de um fator de 4 3 .

Mais um problema feito. Bora pra mais um?