Um satélite da Têrra tem perigeu de 300 km e apogeu de 3.500 km sobre a superfície do planeta. Qual será a distância do satélite acima da Terra quando (a) ele tiver girado 90° em torno da Terra a partir do perigeu e quando (b) ele tiver se movido meio caminho entre o perigeu e o apogeu?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

para a)

Um esboço do que o enunciado nos diz é:

Com o centro da Terrana origem, a equação de orbita como já sabemos é:

α r = 1 + ε cos ⁡ θ                           ( 0.1 )

Também é nos dito no livro que:

r m i n = a 1 - ε                 ( 0.2 )

r m á x = a 1 + ε                 ( 0.3 )

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

r m ì n = r p = 300   k m + r t = 300   k m + 6.37 × 10 6 m = 6.67 × 10 6 m

r m á x = r a = 3500   k m + r t = 3 5 00   k m + 6.37 × 10 6 m = 9.8 7 × 10 6 m

a = 1 2 r a + r p = 8.27 × 10 6   m

ε = 0.193 quando θ = 0 de forma que:

a r m í n = 1 + ε

Assim, da equação 0.1 nós obtemos que α = 7.96 × 10 6 m

Assim a equação de orbita é:

7.96 × 10 6 m r = 1 + 0.193 cos ⁡ θ

Como dito θ = 90 °

r = 7.96 × 10 6 = α

Passo 3

Para b)

Observe que:

θ = π - β = π - tan - 1 ⁡ b a - r m í n

Usando b = α a

θ = π - β = π - tan - 1 ⁡ α a a - r m í n = π - tan - 1 ⁡ 7.96 × 10 6 m 8.27 × 10 6   m 8.27 × 10 6   m - 6.67 × 10 6 m = 101 °

Substituindo esse valor de θ na equação 0.1:

7.96 × 10 6 m r = 1 + 0.193 cos ⁡ 101 ° → r = 8.27 × 10 6 m  

O que é 1900 km acima da Terra.

Resposta

Para a)

r = 7.96 × 10 6 = α

Para b)

r = 8.27 × 10 6 m  

O que é 1900 km acima da Terra.