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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 60

Para o sistema mostrado na Figura 6.33:

  1. Determine o polinômio característico Δ ω 2 = det ⁡ k - ω 2 [ m ]
  2. Construa um gráfico para Δ ω 2 considerado ω 2 = 0 a ω 2 = 4,0
  3. Determine ω 1 2 , ω 2 2   e   ω 3 2

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto? Então, se liga. Aqui a grande jogada é fazermos a matriz de elasticidade para os três casos das forças, anulando duas delas e destacando uma para a matriz. Se liga:

Seja:

x 1 = 1 ,     x 2 = x 3 = 0

Logo,

F 1 = 2 + 1 + 1 = 4 = k 11 ,     F 2 = - 1 = k 21 ,     F 3 = - 1 = k 31

Agora fazemos isso para os outros dois x t .

Seja:

x 2 = 1 ,     x 1 = x 3 = 0

Logo,

F 2 = 1 + 1 = 2 = k 22 ,     F 2 = - 1 = k 1 2 ,     F 3 = 0 = k 3 2

Seja:

x 3 = 1 ,     x 1 = x 2 = 0

Logo,

F 3 = 1 + 1 = 2 = k 33 ,     F 2 = - 1 = k 1 3 ,     F 3 = 0 = k 23

Passo 2

A partir disso, a gente já pode montar a matriz com os valores de k a b que a gente achou! Só bora! A gente tem a seguinte matriz:

k = 4 - 1 - 1 - 1 2 0 - 1 0 2

E para a matriz de massa:

m = 2 0 0 0 1 0 0 0 1

A partir disso tudo, a gente já pode achar o nosso polinômio característico de:

Δ ω 2 = det [ ⁡ k - ω 2 [ m ] ]  

Passo 3

A partir da regra de polinômio característico:

- 2 ω 2 + 4 - 1 - 1 - 1 - ω 2 + 2 0 - 1 0 - ω 2 + 2 = 0

Calculando o determinante:

2 - ω 2 + 1 - ω 2 + 2 - ω 2 + 3 = 0

Logo:

Δ ω 2 = 2 - ω 2 + 1 - ω 2 + 2 - ω 2 + 3

Passo 4

Plotando esse polinômio, a gente tem algo parecido com isso:

E por fim, no item c), as raízes da equação a gente acha pelo gráfico mesmo, bastando olhar aonde o gráfico toca o eixo de ω 2 . Logo:

ω 1 2 = 1

ω 2 2 = 2

ω 3 2 = 3

Resposta

a) Δ ω 2 = 2 - ω 2 + 1 - ω 2 + 2 - ω 2 + 3

b)

c) ω 1 2 = 1

ω 2 2 = 2

ω 3 2 = 3

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