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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 33

Para um sistema vibratório, m = 10   k g , k = 2.500   N / m e c = 45   N . s / m . Uma força harmônica de amplitude 180   N e freqüência 3,5   H z age sobre a massa. Se o deslocamento e a velocidade iniciais da massa são 15   m m e 5   m / s , determine a solução completa que representa o movimento da massa.

Passo 1

O enunciado nos diz que para um sistema vibratório, m = 10   k g , k = 2.500   N / m e c = 45   N . s / m . Uma força harmônica de amplitude 180   N e freqüência 3,5   H z age sobre a massa. Se o deslocamento e a velocidade iniciais da massa são 15   m m e 5   m / s , determine a solução completa que representa o movimento da massa.

Solução completa é: x ( t ) = x 0 e - J ω n t c o s ⁡ ω d t + ϕ 0 + x c o s ⁡ ( ω t - ϕ )

ω = 2 π ( 3.5 ) = 21.9912 r a d / s e c , ω n = k m = 2500 10 = 15.8114 r a d / s e c

δ s t = F 0 k = 180 2500 = 0.072 m

J = c 2 m C O n = 45 2 ( 10 ) ( 15.8114 ) = 0.1423 , r = ω ω n = 21.9912 15.8114 = 1.3908

J ω n = 2.25 , ω d = 1 - J 2 ω n = 15.6505

Passo 2

Para a posição temos………..

x = δ s t 1 - r 2 2 + ( 25 r ) 2 = 0.072 1 - 1.3908 2 2 + ( 2 × 0.1423 × 1.3908 ) 2 1 / 2 = 0.07095 m

ϕ = t a n - 1 ⁡ 2 T r 1 - r 2 = t a n - 1 ⁡ 0.3958 - 0.9343 = - 22.9591 ∘

x ( t ) = x 0 e - 2.25 t c o s ⁡ 15.6505 t + ϕ 0 + 0.07095 c o s ⁡ 21.9912 t + 22.9591 ∘

x ˙ ( t ) = - 2.25 x 0 e - 2.25 t c o s ⁡ 15.6505 t + ϕ 0 - 15.6505 x 0 e - 2.25 t s i n ⁡ ( 15.6505 t + ϕ )

- 21.9912 ( 0.07095 ) s i n ⁡ 21.9912 t + 22.9591 ∘

x ( 0 ) = 0.015 = x c o s ⁡ ϕ 0 + 0.07095 c o s ⁡ 22.9591 ∘

x c o s ⁡ ϕ 0 = - 0.05033 … . E 1

x ˙ ( 0 ) = 5 = - 2.25 x 0 c o s ⁡ ϕ 0 - 15.6505 x 0 s i n ⁡ ϕ 0 - 1.5603 s i n ⁡ 22.9591 ∘

x s i n ⁡ ϕ 0 = - 0.6086 - 2.25 x 0 c o s ⁡ ϕ 0 - 5 15.6505 = - 0.3511 … . E 2

Passo 3

Eq (E1) e (E2)

x 0 = ( - 0.05033 ) 2 + ( - 0.3511 ) 2 1 / 2 = 0.3547

ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ 0.3511 0.05033 = t a n - 1 ⁡ ( 6.9760 ) = 81.8423 ∘

Resposta

81.8423 ∘

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