Enunciado

Usando a equação de movimento dada no Problema 8.49, determine as frequências naturais de uma membrana circular de raio R presa ao redor da borda em r = R .

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Mão na massa!

Bem! Temos a seguinte equação...

∂ 2 W ∂ r 2 + 1 r ∂ W ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 W ∂ θ 2 = - ρ P ω 2 W

Passo 2

Dessa forma, fazendo...

W r , θ = X r ⋅ Y ( θ )

Temos que...

d 3 W ( x ) d x 3 ⋅ W x 0 l - d 2 W x d x 2 ⋅ d W x d x 0 l + ∫ 0 l d 2 W d x 2 x 2 d x

Bom! Os dois primeiros termos dessa equação baseado nas condições de contorno dão zero. Então...

ω 2   é   p o s i t i v o

Pelo que...

W x = d W d x = 0

d 3 W ( x ) d x 3 = d 2 W x d x 2 = 0

Se w x , t , então é dado por...

w x , t = C sen ⁡ n π x l cos ⁡ ω n t

E a equação anterior vira...

α 2 n π l 4 - ω n 2 - r 2 n π l 2 ω n 2 = 0

ω n 2 1 + n π l 2 = α 2 n π l 4

ω n 2 = α 2 n 4 π 4 l 4 1 + n 2 π 2 l 2 l 2

Resposta

ω n 2 = α 2 n 4 π 4 l 4 1 + n 2 π 2 l 2 l 2

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