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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 39

Use equações de Lagrange para deduzir as equações de movimento de cada um dos sistemas mostrados nas Figuras 6.17 a 6.21.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Inicialmente, se localizem na figura 6.17, a primeira a ser considerada.

Usaremos x 1 ,   x 2 ,   x 3 como coordenadas generalizadas.

Da fórmula da energia cinética, nós encontramos o seguinte:

T = 1 2 m 1 x 1 ˙ + 1 2 m 2 x 2 ˙ + 1 2 m 3 x 3 ˙

Da energia potencial, nós temos:

V = 1 2 k x 1 2 + 1 2 k x 2 - x 1 2 + 1 2 k x 3 - x 2 2 + 1 2 k x 3 2 + 1 2 5 k x 3 - x 1 2

Isso com Q j = F i ; i = 1,2 , 3

Passo 2

Dito isso, já podemos montar as equações, assim como nas questões anteriores:

δ T δ x i ˙ = m i x i ˙ ; i = 1,2 , 3               d d t δ T δ x i ˙ = m i x i ˙ ; i = 1,2 , 3             δ T δ x i ˙ = 0 ; i = 1,2 , 3

E para cada uma das coordenadas, teremos:

          δ V δ x 1 = 7 k x 1 - k x 2 - 5 k x 3

          δ V δ x 2 = - k x 1 + 2 k x 2 - k x 3

          δ V δ x 3 = - 5 k x 1 - k x 2 + 7 k x 3

Finalmente podemos montar as equações de movimento a partir das equações de Lagrange:

m 1 x ¨ 1 + 7 k x 1 - k x 2 - 5 k x 3 = F 1 ( t )

m 2 x ¨ 2 = - k x 1 + 2 k x 2 - k x 3 = F 2 ( t )

m 3 x ¨ 3 - 5 k x 1 - k x 2 + 7 k x 3 = F 3 ( t )

Resposta

m 1 x ¨ 1 + 7 k x 1 - k x 2 - 5 k x 3 = F 1 ( t )

m 2 x ¨ 2 = - k x 1 + 2 k x 2 - k x 3 = F 2 ( t )

m 3 x ¨ 3 - 5 k x 1 - k x 2 + 7 k x 3 = F 3 ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro