Use o método de Green para obter a resposta de um oscilador amortecido a uma função força da forma:

F t = 0                                                 ,   t < 0 F 0 e - γ t   sin ⁡ ω t ,   t > 0

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos lembrar da nossa equação:

sin ⁡ θ sin ⁡ α = 1 2 cos ⁡ θ + α - cos ⁡ θ - α

Para um oscilador amortecido, usamos o método de Green para encontrar a solução que temos:

x t = ∫ ∞ t F t ' G ( t , t ' ) d t '

Onde F t ' = F 0 e - γ t sin ⁡ ( ω t ' ) .

G t , t ' = 1 m ω 1 e - β t - t ' sin ⁡ ω 1 ( t - t ' )

Por substituição nós temos:

x t = F 0 m ω 1 ∫ 0 t e - γ t sin ⁡ ( ω t ' ) e - β ( t - t ' ) sin ⁡ ω 1 ( t - t ' ) d t '

Usando a identidade trigonométrica anterior temos:

x t = F 0 e - β t 2 m ω 1 I 1 + I 2

Onde:

I 1 = ∫ 0 t e ( β - γ ) t ' cos ( ⁡ [ ω + ω 1 ] t ' - ω 1 t ) d t '  

I 2 = - ∫ 0 t e β - γ t ' cos ⁡ ( ⁡ ω - ω 1 t ' + ω 1 t ) d t '  

Resolvendo as integrais temos:

x t = F 0 ω R m β - γ 2 + ω + ω 1 2 β - γ 2 + ω - ω 1 2

Onde:

R = e - γ t 2 β - γ cos ⁡ ω t + β - γ 2 + ω 1 2 - ω 2 sin ⁡ ω t ω   +   e - γ t 2 β - γ cos ⁡ ω 1 t + β - γ 2 - ω 1 2 + ω 2 sin ⁡ ω 1 t ω  

E assim a gente conclui e nossa questão, te vejo na próxima!

Resposta

x t = F 0 ω R m β - γ 2 + ω + ω 1 2 β - γ 2 + ω - ω 1 2

R = e - γ t 2 β - γ cos ⁡ ω t + β - γ 2 + ω 1 2 - ω 2 sin ⁡ ω t ω   +   e - γ t 2 β - γ cos ⁡ ω 1 t + β - γ 2 - ω 1 2 + ω 2 sin ⁡ ω 1 t ω