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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 76

Utilizando os resultados dos Problemas 6.19 e 6.51 , determine a matriz modal [ X ] do sistema mostrado na Figura 6.24   e deduza as equações de movimento não acopladas.

Passo 1

Do problema 6.51

x → ( 1 ) = 1   2   1   x 1 ( 1 ) , x → ( 2 ) = 1   0   - 1   x 1 ( 2 ) , x → ( 3 ) = 1   - 2   1   x 1 ( s )

[ m ] = m 1         0         0   0         1         0   0         0         1  

Normalização dá

x → ( 1 ) T [ m ] x → ( 1 ) = 1         2         1   1   2   x 1 ( 1 ) 2 m = 1 ⇒ x 1 ( 1 ) = 1 2 m

x → ( 2 ) ⊤ [ m ] x → ( 2 ) = 1         0         - 1   1   0   - 1   x 1 ( 2 ) 2 m = 1 ⇒ x 1 ( 2 ) = 1 2 m

x → ( 3 ) ⊤ [ m ] x → ( 3 ) = 1         - 2         1   1   - 2   1   x 1 ( 3 ) 2 m = 1 ⇒ x 1 ( 3 ) = 1 2 m ,

Passo 2

Matrix modal é

[ x ] = 1 m 1 / 2   1 / 2   1 / 2   1 / 2   0   - 1 / 2   1 / 2   - 1 / 2   1 / 2  

e q u a ç õ e s   a c o p l a d a s   o r i g i n a i s   [ m ] x → ¨ + [ k ] x → = 0 →

equações desacopladas com x → = [ x ] q → são

q → ¨ + ω 2 q → = 0 →

q ¨ 1   q ¨ 2   q ¨ 3   + ω 1 2   0   0   0   ω 2 2   0   0   0   ω 3 2   q 1   q 2   q 3   = 0   0   0  

Com ω 1 2 = 0.585786 k m , ω 2 2 = 2 k m , ω 3 2 = 3.414214 k m

Resposta

ω 1 2 = 0.585786 k m , ω 2 2 = 2 k m , ω 3 2 = 3.414214 k m

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