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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 2

Se o vetor de campo for independente da distância radial em uma esfera, descubra a função que descreve a densidade ρ = ρ ( r ) da esfera.

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão temos que descobrir a densidade de uma esfera quando o vetor de campo for independente da distância radial. Vamos aos cálculos.

Passo 2

Começamos os cálculos pela equação de Newton pra gravitação

∇ 2 ϕ = 4 π G ρ

Usando coordenadas esféricas pra cálculo do campo, temos

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ ϕ ∂ r = 4 π G ρ

Como o vetor do campo é independente da distância radial, temos que

∂ ϕ ∂ r = c o s n t a n t e = C

Substituindo na equação que tínhamos, vamos obter

1 r 2   2 C r = 4 π G ρ

2 C r = 4 π G ρ

Isolando o ρ temos

ρ = C 2 π G r

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

Resposta

ρ = C 2 π G r