Intervalo de Confiança para Diferença entre Proporções

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Teoria

Se a gente viu como constrói IC para diferença entre duas médias, é óbvio que não vamos querer deixar nossa querida proporção de fora!

Vamos aprender a fazer essa budega por esse exemplo:

“Uma amostra de 760 estudantes de uma faculdade A alegou que 70% deles deixa para estudar a matéria na véspera da prova. Uma outra amostra de 800 estudantes de uma faculdade B alegou que só 65% deles estudo tudo na véspera. Construa um intervalo de confiança de 90% para a diferença ( p 1 - p 2 ) entre as proporções populacionais de estudantes das faculdades que estudam só na véspera.”

Reparou as diferenças? Agora vamos querer construir um IC para duas propoções populacionais p 1 e p 2 , e vamos conhecer as proporções amostrais p ^ 1 e p ^ 2 retiradas de amostras vindas dessas populações. Vamos nomear os nossos bois.

Temos a proporção amostral da faculdade A:

p ^ 1 = 0,70

E a proporção amostral da faculdade B:

p ^ 2 = 0,65

Também temos o tamanho das nossas amostras. Vamos chamar de n a amostra da população 1 (faculdade A) e m a amostra da população 2 (faculdade B):

n = 760

m = 800

Nosso IC para ( p 1 - p 2 ) a um nível de confiança de 100 1 - α % vai ser dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

Mesmo padrão de sempre, percebeu? Os p ^ nós já conhecemos! E o nosso d agora é dado por:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Vamos resolver nosso exemplo então!

Passo 1) Calcular α e z 1 - α 2

O nível de confiança pedido é de 90%, então...

1 - α = 0,90 → α = 0,10

Daí temos que nosso z vai ser:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,10 2 = z 0,95

Procurando esse cara na tabela temos que:

z 0,95 = 1,64

Passo 2) Calcular d

Substituindo os valores conhecidos para acharmos d :

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m = 1,64 × 0,70 ( 1 - 0,70 ) 760 + 0,65 ( 1 - 0,65 ) 800

d = 0,0374

Passo 3) Construir o IC

Agora podemos substituir geral na fórmula:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

I C = [ 0,70 - 0,65 - 0,0374 ; 0,70 - 0,65 + 0,0374 ]

I C = [ 0,0126 ; 0,0874 ]

Ou seja, acabamos de garantir com 90% de confiança que a diferença entre as proporções é de no mínimo 1,26 % até o máximo de 8,74 % !

Foi? Partiu fazer exercício então!