Enunciado

Defina a diferença simétrica entre os eventos A e B como A Δ B = A c ∩ B ∪ ( A ∩ B c ) . Calcule P ( A Δ B ) para os eventos A e B do Exemplo 5.7.

Passo 1

Fala ae, pessoal! Bora fazer esse exercício!

Catando umas informações do Exemplo 5.7, sabemos que:

P A = 1 2

P B = 1 3

P A ∩ B = 1 4

Outra coisinha: como

A Δ B = A c ∩ B ∪ ( A ∩ B c )

então

P A Δ B = P A c ∩ B + P ( A ∩ B c )

Passo 2

No Exemplo 5.7, vemos que:

B = A ∩ B ∪ ( A c ∩ B )

Seguindo o mesmo raciocínio:

A = A ∩ B ∪ ( A ∩ B c )

Então:

P A = P A ∩ B + P ( A ∩ B c )

P B = P A ∩ B + P ( A c ∩ B )

Somando as duas equações, temos:

P A + P B = 2   P A ∩ B + P A c ∩ B + P ( A ∩ B c )

P A c ∩ B + P A ∩ B c = P A + P B - 2   P A ∩ B

Passo 3

Como:

P A Δ B = P A c ∩ B + P ( A ∩ B c )

Então:

P A Δ B = P A + P B - 2   P A ∩ B

P A Δ B = 1 2 + 1 3 - 2 1 4 = 1 3

Resposta

P A Δ B = 1 3

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