Demonstre a fórmula ( 16.30 ), ou seja:

sum (y_i - overset(-)(y))^2 = sum (y_i - overset(-)(y))^2 + sum hat e_i^2

Passo 1

Prova. De ( 16.29 )

y_i - overset(-)(y) = y_i - hat y_i - overset(-)(y) = hat e_i + (hat y_i - overset(-)(y)) ,

E elevando ao quadrado ambos os membros e somando-os, obtemos:

sum (y_i - overset(-)(y))^2 = sum hat e_i^2 + sum (hat y_i - overset(-)(y))^2 + 2 sum (hat y_i - overset(-)(y)) hat e_i .

Passo 2

Mas, como,

hat y = overset(-)(y) + hat beta (x_i - overset(-)(x)) e hat e_i = y_i - overset(-)(y) - hat beta (x_i - overset(-)(x))

Teremos:

sum hat e_i (hat y_i - overset(-)(y)) = sum [(hat y_i - overset(-)(y)) - hat beta (x_i - overset(-)(x))] [hat beta (x_i - overset(-)(x))]

= hat beta (y_i - overset(-)(y)) (x_i - overset(-)(x)) - hat beta^2 (x_i - overset(-)(x))^2 .

Usando a expressão de hat beta , do problema 30 , obtemos:

sum hat e_i (y_i - overset(-)(y)) = 0 ,

Resposta

O que demonstra a expressão.

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