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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 27

Distribuição multinomial.

Passo 1

Suponha que, quando realizamos um experimento aleatório, os resultados possíveis são os eventos A_1 , . . . , A_s , com probabilidades p_i = P ( A_i ) , i = 1 , . . . , s , sum_i p_i = 1 . Suponha que repetimos o experimento n vezes e que pi permanece constante em todas as repetições.

Passo 2

Defina as v.a. X_1 , . . . , X_s como:

X_i = n ú m e r o d e v e z e s q u e A_i o c o r r e n a s n r e p e t i ç õ e s , i = 1 , . . . , s .

Então, temos que:

P (X_1 = n_1 , X_2 = n_2 , ... , X_s = n_s) = (n !)/(n_1 ! xx n_2 ! xx ... xx n_s !) xx p_1^(n_1) xx p_2^(n_2) xx ... xx p_s^(n_s) ,

com n_1 + . . . + n_s = n . Se s = 2 obtemos a distribuição binomial.

Resposta

Observe que X_1 + . . . +

+ X_s = n , logo as v.a. X_1 , . . . , X_s não são independentes. Como cada X_i tilde B i n ( n , p_i ) , obtemos

E (X_i) = n xx p_i , V a r (X_i) = n xx p_i ( 1 – p_i ) , i = 1 , . . . , s .

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