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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 27

Distribuição multinomial.

Passo 1

Suponha que, quando realizamos um experimento aleatório, os resultados possíveis são os eventos A 1 ,   . . . ,   A s , com probabilidades p i =   P ( A i ) , i   =   1 ,   . . . ,   s , ∑ i p i = 1 . Suponha que repetimos o experimento n vezes e que pi permanece constante em todas as repetições.

Passo 2

Defina as v.a. X 1 ,   . . . ,   X s como:

X i   =   n ú m e r o   d e   v e z e s   q u e   A i   o c o r r e   n a s   n   r e p e t i ç õ e s ,   i   =   1 ,   . . . ,   s .

Então, temos que:

P X 1 = n 1 ,   X 2 = n 2 ,   … ,   X s = n s = n ! n 1 ! × n 2 ! × … × n s ! × p 1 n 1 × p 2 n 2 × … × p s n s ,  

com n 1   +   . . .   +   n s   =   n . Se s   =   2   obtemos a distribuição binomial.

Resposta

Observe que X 1 +   . . .   +

+   X s =   n , logo as v.a. X 1 ,   . . . ,   X s não são independentes. Como cada X i ~   B i n ( n ,   p i ) , obtemos

E X i =   n × p i , V a r X i =   n × p i ( 1   –   p i ) , i   =   1 ,   . . . ,   s .

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