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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 1

O modelo ( 15.4 ) pode ser escrito na forma

y i j = μ + α i + e i j

Com i = 1 ,   ⋯ I e j = 1 ,   ⋯ n i . Dizemos que α i , é o efeito diferenciado da subpopulação P i ou do nível i   do fator. Mostre que os estimadores de mínimos quadrados para μ e α i são dados por

μ ^ = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i y i j = y - ,

α ^ = y - i - y - , com y - i = 1 n i ∑ j = 1 n i y i j ,

Se impusermos a condição ∑ i = 1 I n i α i = 0 .

Passo 1

Seja o modelo

y i j = μ + α i + e i j

Assim,

μ ^ = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i y i j = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i ( μ + α i + e i j )

Usando a hipótese

∑ i = 1 I n i α i = 0

E sabendo que

∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i e i j = 0

Temos:

= 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i y i j = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i μ + 0 + 0 = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i μ

Portanto,

μ ^ = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i y i j = 1 n ∑ i = 1 I ∑ j = 1 n i μ = y . -

Resposta

Portanto, μ ^ = y - , como queríamos demonstrar.

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