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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 1

Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.

Determine o seguinte:

  1. P ( X < 2.5 ,   Y < 3 )
  2. P(X
  3. P ( Y < 3 )
  4. P ( X . 1.8 ,   Y > 4.7 )
  5. E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X )   e   V ( Y )
  6. a distribuição de probabilidade marginais da variável aleatória X.
  7. A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1.5.
  8. A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y= 2.
  9. E ( Y | X = 15 )
  10. X e Y são independentes?

Passo 1

Uma função de massa de probabilidade conjunta válida deve satisfazer:

∑ x ∑ y f x y ( x , y ) = 1

Se X e Y forem variáveis ​​aleatórias discretas.

∑ x ∑ y f x y ( x , y ) = 1 4 + 1 8 + 1 4 + 1 4 + 1 8 = 1

Passo 2

Letra a:

Vamos encontrar a probabilidade de que X

P ( X < 2.5 ,   Y < 3 ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) + P ( X = 1 ,   Y = 1 )

= 1 8 + 1 4

= 3 8

Passo 3

Letra b:

Vamos determinar a probabilidade de que X

P ( X < 2.5 ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 3 ) + P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) + P ( X = 1 ,   Y = 1 )

= 1 4 + 1 8 + 1 4

= 5 8

Passo 4

Letra c:

Vamos encontrar a probabilidade de que Y

P ( Y < 3 ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) + P ( X = 1 ,   Y = 1 )

= 1 8 + 1 4

= 3 8

Passo 5

Letra d:

Vamos calcular a probabilidade de que X > 1.8 e Y > 4.7 :

P ( X > 1.8 ,   Y > 4.7 ) = P ( X = 3 ,   Y = 5 )

= 1 8

Passo 6

Letra e:

Vamos encontrar E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X )   e V ( Y )

Vamos encontrar a média de X.

Primeiro, temos que encontrar a distribuição de probabilidade marginal de X:

P ( X = 1 ) = P ( X = 1 ,   Y = 1 ) = 1 4

P ( X = 1.5 ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) + P ( X = 1.5 ,   Y = 3 )

= 1 8 + 1 4 = 3 8

P ( X = 2.5 ) = P ( X = 2.5 ,   Y = 4 ) = 1 4

P ( X = 3 ) = P ( X = 3 ,   Y = 5 ) = 1 8

A média de X será:

E ( X ) = ∑ x x P ( X = x )

= 1 × 1 4 + 1.5 × 3 8 + 2.5 × 1 4 + 3 × 1 8

= 1.8125

Vamos encontrar a variância de X:

V ( X ) = ∑ x x 2 P ( X = x ) - ( E ( X ) ) 2

= 1 2 × 1 4 + 1 . 5 2 × 1 4 + 3 2 × 1 8 - 1.812 5 2

= 0.4961

Vamos encontrar a variância de Y:

V ( Y ) = ∑   y y 2 P ( Y = y ) - ( E ( Y ) ) 2

1 2 × 1 4 + 2 2 × 1 8 + 3 2 × 1 4 + 4 2 × 1 4 + 5 2 × 1 8 - 2.87 5 2

= 1.8594

Vamos encontrar a média de Y:

Primeiro, temos que encontrar a distribuição de probabilidade marginal de Y:

P ( Y = 1 ) = P ( X = 1 ,   Y = 1 ) = 1 4

P ( Y = 2 ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) = 1 8

P ( Y = 3 ) = P ( X = 2.5 ,   Y = 4 ) = 1 4

P ( Y = 4 ) = P ( X = 2.5 ,   Y = 4 ) = 1 4

P ( Y = 5 ) = P ( X = 3 ,   Y = 5 ) = 1 8

A média de Y é:

E ( Y ) = ∑ y y P ( Y = y )

= 1 × 1 4 + 2 × 1 8 + 3 × 1 4 + 4 × 1 4 + 5 × 1 8

= 2.875

Passo 7

Letra f:

A distribuição de probabilidade marginal de X é

Passo 8

Letra g:

Vamos calcular a distribuição de probabilidade condicional de Y, dado que X = 1.5

f ( 2 ) = f y | 1.5 ( 2 ) = f x y ( 1.5,2 ) f x ( 1.5 ) = 1 8 3 8 = 1 3

f ( 3 ) = f y | 1.5 ( 3 ) = f x y ( 1.5,3 ) f x ( 1.5 ) = 1 4 3 8 = 2 3

Passo 9

Letra h:

Vamos encontrar a distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = 2:

f ( 1.5 ) = f x | 2 ( 1.5 ) = f x y ( 1.5,2 ) f y ( 2 ) = 1 8 1 8 = 1

Passo 10

Letra i:

Da parte da letra g:

P ( Y = 2 | X = 1 . 5 ) = 1 3

P ( Y = 3 | X = 1.5 ) = 2 3

Vamos encontrar a média condicional de Y dado que X = 1.5:

E ( Y | X = 1.5 ) = ∑ y y f Y | X = 1.5 ( y ) = 2 × 1 3 + 3 × 2 3 = 8 3

Passo 11

Letra j:

Vamos descobrir se as variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes:

f x y ( x , y ) = P ( X = 1.5 ,   Y = 2 ) = 1 8

f x ( x ) f y ( y ) = P ( X = 1 . 5 ) P ( Y = 2 ) = 3 8 × 1 8 = 3 64

1 8 ≠ 3 64

Portanto, as variáveis ​​aleatórias X e Y não são independentes.

Resposta

  1. 3 8
  2. 5 8
  3. 3 8
  4. 1 8
  5. E ( X ) = 1.8152 ,   E ( Y ) = 2.875 ,   V ( X ) = 0.4961 ,   V ( Y ) = 1.8594
  7. f ( 2 ) = 1 3 ,   f ( 3 ) = 2 3
  8. 1
  9. 8 3
  10. Portanto, as variáveis ​​aleatórias X e Y não são independentes.
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