Sejam XX......X.uniformemente distribuidos no intervalo 0 a a.Lembre-se de que o estimador de maxima verossimilhanca de a e a-máx(X).

1. Por que,intuitivamente,a nao pode ser um estimador nao-tendencioso para a?
2. Suponha que E(a)=na/(n+1).E razoavel que a consistentemente subestime a?Mostre que a tendenciosidade no estimador se aproxima de zero quando n aumenta.
3. Proponha um estimador nao-tendencioso para a.
4. SejaY=max(X).Use o fato de que Yyse e somente se cada Xy. para deduzir a funcao de distribuicao cumulativa de Y.Mostre entio que a funcao densidade de probabilidade de Ye caso contrario. Use esse resultado para mostrar que o estimador de maxima verossimilhanca para a e tendencioso.
5. Temos dois estimadores nao-tendenciosos para a:o estimador de momento a=2X c a,=(n+1)n|max(X).em que max(Xj)e a maior observacao em uma amostra alcatoria de tamanho n.Pode ser mostrado que Viaj=a((3n)e quc V(a)-a/n(n+2)|.Mostre que se

.a,e um estimador melhor do que a.Em que sentido ele e um estimador melhor de a?

Letra b:

Nós temos que

portanto, pela definição de parcialidade,

o que significa que se aproxima de zero.

Letra c:

A expectativa de uma variável aleatória distribuída uniformemente no intervalo [0, a] é , portanto, um estimador imparcial será , porque

Letra d:

De , precisamos encontrar a função de distribuição cumulativa de Y. Seja , então

: se máximo for menor ou igual a y, cada um deles é menor ou igual;

aqui usamos que eles são independentes (mesmo que não seja mencionado na tarefa, as variáveis ​​aleatórias são provavelmente independentes).

Nós também usamos que

Para , a função de distribuição cumulativa é obviamente 0, e para é igual a 1.

É fácil encontrar a derivada da função para obter a função de densidade de probabilidade como

Olhando para a parcialidade,

conforme calculamos anteriormente

onde a expectativa de Y é

é a parte onde usamos a função de densidade de probabilidade.

Letra e:

é um melhor estimador do que estimador no sentido de que sua variância é menor. Isso é porque:

como