Diagrama de Bode

Primeiramente vamos dividir toda a função por para conseguir aquele “mais um” no denominador:

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Vamos começar pela razão de amplitude.

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

Já o segundo termo:

Em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Somando as duas parcelas:

Agora vamos trabalhar com o ângulo de fase:

Repare que em frequências muito baixas o ângulo de fase será , e em frequências muito altas, será . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é . Sendo assim:

Primeiramente vamos dividir toda a função por para conseguir aquele “mais um” no denominador:

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Começando pela razão de amplitude.

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

Já o segundo termo é uma reta com inclinação para qualquer faixa de frequência. Desde frequências muito baixas até frequências muito altas:

Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Por fim, o terceiro termo em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação . O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha amarela:

Somando as três linhas:

Podemos perceber que o ponto inicial é em , a curca decai linearmente com inclinação desde o início do diagrama devido ao polo na origem. Em a curva começa a sofrer a influência do outro polo e começa a decair com inclinação

Partindo agora para o ângulo de fase:

A primeira linha é uma constante, já que:

Vamos representar essa linha com vermelho:

O segundo termo é um polo normal. Para esse tipo de polo consideraremos que em frequências muito baixas o ângulo de fase será , e em frequências muito altas, será . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 3. Vamos representar esse polo com uma linha amarela. Sendo assim:

Somando as duas linhas:

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Começando pela razão de amplitude.

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada termo separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

Além da constanste, temos também um termo referente ao polo. Os polos são em frequência muito baixa e na frequência de quebra eles se tornam uma reta com inclinação negativa. Como polo da função de transferência está elevado ao quadrado, ao invés de uma inclinação de , a reta terá inclinação a partir da frequência de quebra que é . Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Agora, só precisamos somar as duas linhas:

Agora o ângulo de fase:

Como só temos um termo, não precisamos esboçar cada termo separadamente e depois somar, podemos fazer diretão.

Como temos um polo de grau , em frequências muito baixas o ângulo de fase será e em frequência altas será . A transição começa uma década antes da frequência de quebra e termina uma década depois da frequência de quebra que é , gerando uma reta com inclinação .

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Começando pela razão de amplitude.

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos quatro termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será em frequências baixas e uma reta com inclinação a partir da frequência de quebra que é . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Além do zero, temos ainda dois polos que terão frequências de quebra em e . Como são polos, a inclinação deles a partir dessa frequência será negativa. Vamos representar essas retas em azul e amarelo:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

No início só temos a influência da constante, e por isso a linha permanece reta. Quando a frequência atinge a curva começa a sentir o efeito do primeiro polo e cai a uma taxa de até . Nesse ponto, o zero também começa a ser sentido, e dessa forma, o zero e o polo se anulam. Em os efeitos do segundo polo passam a contar e então, a curva volta a ter inclinação negativa

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O zero representado por uma linha vermelha e um polo com uma linha azul e o outro com uma linha amarela:

O ângulo de fase é sempre em baixas frequências e em altas frequências caso seja um zero, e em altas frequências caso seja um polo. A transição começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois da frequência de quebra, gerando uma reta com inclinação .

Vamos somar as três linhas então:

Nesse caso nós temos um zero de primeira ordem e um polo de segunda ordem, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Começando pela razão de amplitude.

Para a expressão da razão de amplitude temos dois termos, o primeiro referente ao zero da função de transferência e o segundo referente ao polo.

O termo do zero é um termo comum, de primeira ordem, com frequência de quebra em . Vamos representar esse termo com uma linha verde:

Já o segundo termo, referente ao polo da função de transferência, é um termo de seguda ordem. A frequência de quebra nesse caso será . Ou seja, no mesmo ponto do zero. Como se trata de um polo, a inclinação será negativa e por ser de segunda ordem, a inclinação será . Vamos representar o polo com uma linha vermelha:

Agora só precisamos somar as duas linhas as linhas. Até o ponto em que ambas as linhas apresentam razão de amplitude . Nesse ponto, começamos a ter a influência de um zero que contribui com uma reta e de um polo que contribui com . Portanto, a partir de a razão de amplitude total começará a decais a uma taxa de .

Vamos passar agora para o ângulo de fase:

O ângulo de fase referente ao zero, é em baixas frequências e em altas frequências. Já o ângulo referenre ao polo, também é em baixas frequências porém é em altas frequências porque é um polo de segunda ordem. O sinal negativo é devido ao fato de se tratar de um polo e não de um zero. Representando no gráfico com as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude, temos:

A transição entre o ângulo de baixas frequências e o ângulo de altas frequências começa uma década antes da frequência de quebra, que é para ambas as curvas, e vai até uma década depois da frequência de quebra.

Agora só precisamos somar as duas curvas:

O item a) pede que a gente construa somente a parte de razão de amplitude do diagrama de Bode. Então vamos lá.

A função de transferência já veio do jeito que a gente gosta, naquele formato tanto no polo quanto no zero, então não precisamos multiplicar/dividir a função de transferência por nada.

Sendo assim, já podemos substituir por :

A expressão para a razão de amplitude será:

O primeiro termo é o termo referente ao zero. Sendo assim, em frequências baixas a razão de amplitude será e a partir da frequência de quebra, a razão de amplitude começará a subir a uma taxa de . A frequência de quebra nesse caso será . Vamos representar esse termo com uma linha verde no diagrama:

O segundo termo, que é referente ao polo, assim como o primeiro será em frequências baixas. Entretanto, ao contrário do zero, a partir de sua frequência de quebra, o polo começa a decair a uma taxa de . Para esse caso, a frequência de quebra será . Vamos representar esse segundo termo usando uma linha vermelha:

Agora que já representamos tanto o polo quanto o zero. Só precisamos juntar as duas linhas:

Entre e a razão de amplitude é pois a frequência é muito baixa tanto para o polo quanto para o zero exercerem qualquer tipo de influência. A partir de os efeitos do zero começam a ser sentidos e a razão de amplitude começa a se elevar, entretanto, em , o efeito do polo também começa a se fazer presente, se anulando com o efeito do zero e mantendo a razão de amplitude constante.

O item b) pergunta qual o avanço\atraso de fase da função de transferência em altas frequências.

Apesar de não termos esboçado a parte do diagrama de Bode para o ângulo de fase, é possível prever essa resposta se pensarmos um pouco sobre a estrutura da função de transferência.

A função de transferência em questão apresenta um polo, de primeira ordem, e um zero, também de primeira ordem. Vamos pensar como o polo e o zero se comportam em altas frequências.

O zero em baixas frequências tem ângulo de fase e em altas frequências, . Já o polo é o oposto, em baixas frequências ele também tem ângulo de fase , mas em altas frequências o ângulo de fase se torna .

Sendo assim, em altas frequências teremos o efeito de um polo, , e de um zero, . Quando combinamos os dois o ângulo de fase resultante é . Portanto:

Bora lá então. O primeiro passo é deixar todos os polos e zeros no formato , como o polo que tá na origem não tem como ficar nesse formato, então não fazemos nada com ele.

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :

A expressão para razão de amplitude, em , vai ficar:

Portanto:

Começando pela razão de amplitude.

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será em frequências baixas e uma reta com inclinação a partir da frequência de quebra que é . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Agora vamos representar os polos. Essa função de trnsgerÊncia tem três polos. Os polos tem razaõ de amplitude igual a em baixas frequências e começam a decair a uma taza de quando atingem a frequência de quebra. Para a função de transferência do exercício as função de quebra são , e e nós vamos representar esses polos com linhas azul, amarelo e laranja, respectivamente:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

O diagrama começa em que é o valor da constante inicial. Ele tem inclinação negativa de desde o início devido ao polo na origem. Em os efeitos do segundo polo surgem e a inclinação passa a ser de . Em o terceiro polo também começa a se manifestar e a reta fica mais acentuada ainda com inclinação . Entretanto, em começa-se a sentir o efeito do zero, e a inclinação da curva volta a ser de

Nessa função de transferência temos três polos e um zero e todos já estão no formato , então já podemos partir direto para a substituição:

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):

Portanto:

E o ângulo de fase:

Começando pela razão de amplitude.

Essa função de transferência apresenta três polos. Os polos têm razão de amplitude em baixas frequência e em altas frequências eles decaem a uma taxa de . As frequências de quebra são , e . Vamos representar esses três polos então:

Agora só precisamos somar as três curvas:

A curva de razão de amplitude começa em , a partir da primeira frequência de quebra ela começa a decair a , depois da segunda ela passa a decair a e por fim, quando ultrapassa que é a última frequência de quebra a inclinação da curva dica .