Teoria

No diagrama de bode representamos razão de amplitude e o ângulo de fase de uma função de transferência em função da frequência de entrada.

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Ele tem essa carinha aqui:

Diagrama de Bode: Exemplo
Diagrama de Bode: Exemplo

O primeiro gráfico é o de razão de amplitude, entretanto, com o objetivo de facilitar os cálculos e as representações gráficas, muitas vezes opta-se por representar em vez de simplesmente .

Quando fazemos essa modificação, chamamos a unidade de decibel , e portanto a primeira curva é uma curva de em função do .
O segundo gráfico representa o ângulo de fase, em graus, em função do .

Vamos entender um pouco melhor esse tal de diagrama de Bode e ainda ver algumas técnicas de como esboçar esses diagramas?

Traçado por assíntotas: Razão de amplitude

O diagrama de Bode pode ser esboçado de maneira aproximada a partir de uma sequência de retas, e é nisso que focaremos a partir de agora. Vamos continuar usando a seguinte função:


Sempre que formos fazer o traçado por assíntotas do diagrama de bode, será interessante representar os polos e zero com um “mais um”, então vamos dividir toda a equação por :

Então:

Muitas vezes a curva é feita em decibéis, ou seja:

Vamos usar propriedades logarítmicas para manipular um pouco essa expressão:

Ou seja, a curva de pode ser escrita como a soma de duas curvas:

  • que é uma constante, já que não depende da frequência
  • variável, em função da frequência .

Para a segunda curva, vamos analisar o que acontece em altas e em baixas frequências.

Baixas Frequências de Entrada

Se temos baixas frequências de entrada, podemos dizer que:

Então podemos desprezar o termo da frequência e a expressão fica:

Ficamos então com:

Ou seja, em frequências muito baixas o polo não impacta na razão de amplitude.

Altas Frequências de Entrada

Agora é o inverso, temos altas frequências de entrada, então:

Fazemos a seguinte aproximação:

Substituindo na expressão para :

Ou seja, em altas frequências, esse termo se comporta como uma reta de inclinação , já que o diagrama de Bode está em função do logaritmo da frequência.

Esboço do Diagrama de Bode

Vamos colocar isso no diagrama para entender melhor onde queremos chegar:

Esboço do diagrama de bode.
Esboço do diagrama de bode.

Nós vimos que a expressão para seria:

Nesse gráfico representamos em vermelho o primeiro termo, , que é uma constante, e em verde o segundo termo, . Esse segundo termo, como analisamos, é em frequências muito baixas, e uma reta com inclinação em frequências muito altas.

Nós dizemos que a reta tem inclinação , ou seja, diminui a cada múltiplo de no gráfico.O ponto onde ocorre a transição entre os dois intervalos é o módulo do polo da função de transferência, ou seja, . Esse ponto é chamado de frequência de quebra.

Como o gráfico da razão de amplitude é uma soma desses dois termos (ou dessas duas retas), para desenhar então a versão final só nos resta juntar as duas retas:

Diagrama de Bode.
Diagrama de Bode.

Em baixas frequência, a razão de amplitude só é impactada por , a partir de , o segundo termo começa a fazer efeito sobre a razão de amplitude e a curva começa a decair com uma taxa de .

Prontinho! Agora vamos praticar com exercícios?

Traçado por assíntotas: Razão de amplitude

Esboço do Diagrama de Bode