Quando um avião (Figura 6.32a) sofre vibrações simétricas, a fuselagem pode ser idealizada como uma massa central concentrada M 0 , e as asas podem ser modeladas como barras rígidas que suportam massas M em suas extremidades, como mostra a Figura 6.32b. A flexibilidade entre as asas e a fuselagem pode ser representada por duas molas torcionais, cada uma com rigidez k r .Deduza as equações de movimento do avião utilizando equações de Lagrange com xeθ como coordenadas generalizadas.Determine as frequências naturais e formas modais do avião.Determine a constante elástica torcional de modo que a frequência natural de vibração, em modo torcional, seja maior do que 2 Hz quando M 0 = 1000 k g ,M = 500 k gel = 6 m .

Enunciado

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Inicialmente, vamos definir que nossas coordenadas generalizadas são essas aqui .

Da fórmula da energia cinética, nós encontramos o seguinte:

Da fórmula da energia potencial, nós vamos ter:

Dito isso, podemos concluir, usando as equações de Lagrange, que para a primeira coordenada nós temos:

Já para a segunda coordenada, teremos:

Por fim, teremos a solução com as equações de Lagrange se tornando:

Galera, uma vez que por definição das oscilações harmônicas, nós temos , as equações de movimento vão ser as seguintes:

O que nos leva para a equação de frequência:

Ou seja:

Das equações do movimento escritas anteriormente, nós tiramos que:

E quando

O que nós encontramos aqui corresponde a translação de corpo rígido na direção x(vertical).

E quando

Pelos valores propostos, substituindo para , essa inequação se torna o seguinte:

Ei, a resposta está no passo a passo :)