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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 31

Deduza a equação 2-38.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema nós precisamos deduzir a equação 2-38 do livro. Essa equação é chamada lei dos estados correspondentes e é deduzida a partir da equação de estado de Van der Waals.

Assim, partimos da equação de Van de Waals:

(P + (a)/(v^2)) (v - b) = R T

Os valores da pressão, volume e temperatura no ponto crítico são

P_C = (a)/(27 b^2) v_C = 3 b T_C = (8 a)/(27 R b)

Esses resultados foram deduzidos no livro.

Passo 2

Para chegar na equação dos estados correspondentes, nós definimos três novas variáveis:

P_r = (P)/(P_C) v_r = (v)/(v_C) T_r = (T)/(T_C)

Assim, podemos escrever

P = P_C P_r = (a P_r)/(27 b^2)

v = v_C v_r = 3 b v_r

T = T_C T_r = (8 a T_r)/(27 R b)

Passo 3

Daí, substituímos na equação de Van der Waals:

((a P_r)/(27 b^2) + (a)/((3 b v_r)^2)) (3 b v_r - b) = R * (8 a T_r)/(27 R b)

Portanto,

(a)/(b^2) ((P_r)/(27) + (1)/(9 v_r^2)) b (3 v_r - 1) = (8 a T_r)/(27 b)

Assim,

(a)/(27 b) (P_r + (3)/(v_r^2)) (3 v_r - 1) = (a)/(27 b) * 8 T_r

Simplificando o fator a // 27 b , chegamos exatamente na equação esperada:

(P_r + (3)/(v_r^2)) (3 v_r - 1) = 8 T_r

Essa é exatamente a equação 2-38 do livro!

Resposta

Demonstração.