Enunciado

Determine a expansão por série de Fourier da função periódica mostrada nas Figura 1.92. Além disso, represente em gráfico o espectro de frequência correspondente.

Passo 1

Faaala pessoal, como vocês tão? Bora pra mais uma questãozinha comigo!

Dessa figura indicada no enunciado, nós temos, com t variando de 0   a   τ :

x t = A 1 - t τ

Começaremos tratando dos componentes de uma série de Fourier de cossenos ( α 0 ,   α n ) :

a 0 = 2 τ ∫ 0 τ x t   d t = 2 A τ ∫ 0 τ 1 - t τ   d t = 2 A τ t - t 2 2 τ τ 0 = A

Uma vez demonstrado isso, vamos trabalhar com o outro componente de cossenos:

a n = 2 τ ∫ 0 τ x t cos ⁡ n ω t   d t = 2 A τ sin ⁡ n ω t n ω - t τ sin ⁡ n ω t n ω - cos ⁡ n ω t τ n 2 ω 2 2 τ / ω 0 = 0

Passo 2

Agora que já tratamos dos componentes de cossenos, trataremos no componente de seno:

b n = 2 τ ∫ 0 τ x t sin ⁡ n ω t   d t = 2 A τ - cos ⁡ n ω t n ω + t τ cos ⁡ n ω t n ω - sin ⁡ n ω t τ n 2 ω 2 2 τ / ω 0 = A π n

Por fim, tendo tratado de todas as componentes, chegamos à conclusão que:

x t = A 2 + A π ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ n ω t n

Resposta

a 0 = A

a n = 0

b n = A π n

x t = A 2 + A π ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ n ω t n

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