Enunciado

Dois sistemas finitos idênticos e de capacidade térmica constante C P estão inicialmente a temperaturas T 1 e T 2 , onde T 2 > T 1 .

a) Estes sistemas são usados como os reservatórios de uma máquina de Carnot, que realiza uma quantidade infinitesimal de trabalho d ' W em cada ciclo. Mostre que a temperatura final de equilíbrio dos reservatórios é T 1 T 2 1 / 2 .

b) Mostre que a temperatura final dos sistemas, se eles forem postos em contato em um envoltório adiabático rígido, será ( T 1 + T 2 ) / 2 .

c) Qual das temperaturas finais é maior?

d) Mostre que a quantidade total de trabalho feito pela máquina de Carnot na parte (a) é C P T 2 1 / 2 - T 1 1 / 2 2 .

e) Mostre que o trabalho disponível total na parte (b) é zero.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos resolver o item (a).

Para um corpo com capacidade térmica constante, a variação de entropia é dada por

d S = C P d T T → Δ S = C P ∫ T i T f d T T = C P ln ⁡ T f T i

Assim, a variação de entropia dos sistemas 1 e 2 são dadas por

Δ S 1 = C P ln ⁡ T f T 1                     Δ S 2 = C P ln ⁡ T f T 2

Somando as duas variações, obtemos a variação de entropia total do sistema:

Δ S = Δ S 1 + Δ S 2 = C P ln ⁡ T f 2 T 1 T 2

Como o ciclo de Carnot é reversível, temos que Δ S = 0 , de modo que

ln ⁡ T f 2 T 1 T 2 = 0 → T f 2 T 1 T 2 = 1

Portanto, isolando T f :

T f = T 1 T 2

Isso demonstra o que foi pedido no item (a).

Passo 2

No item (b), temos que considerar os dois sistemas em contato térmica e isolados do entorno. Assim, basta considerar a troca de calor direta entre eles:

Q 1 + Q 2 = 0

Assim,

C P T f - T 1 + C P T f - T 2 = 0

Isolando T f , achamos

T f = T 1 + T 2 2

Prontinho, finalizamos o item (b).

Passo 3

Bora para o item (c).

O truque para ver qual temperatura é maior é partir da relação

T 2 - T 1 2 > 0

Assim,

T 2 2 - 2 T 1 T 2 + T 1 2 > 0

Somando 4 T 1 T 2 dos dois lados:

T 2 2 + 2 T 1 T 2 + T 1 2 > 4 T 1 T 2

Assim,

T 1 + T 2 2 > 4 T 1 T 2

Tomando a raiz dos dois lados:

T 1 + T 2 > 2 T 1 T 2 → T 1 + T 2 2 > T 1 T 2

Com isso, vemos que a temperatura final do item (b) é a maior.

Passo 4

Agora vamos para o item (d).

Para isso, vamos começar calculando o calor trocado pelos sistemas 1 e 2:

Q 1 = C P T f - T 1                     Q 2 = C P T f - T 2

Lembre-se que T f = T 1 T 2 , de modo que T 2 > T f > T 1 . Portanto, Q 1 > 0 e Q 2 < 0 . Isso significa que o sistema 1 recebe calor do ciclo, enquanto o sistema 2 perde.

O calor recebido pelo ciclo será dado pelo negativo da soma de Q 1 com Q 2 , pois o calor recebido pelo ciclo é o calor recebido do sistema 2 subtraindo o calor perdido para o sistema 1:

Q = - Q 1 - Q 2

Logo,

Q = C P T 1 + T 2 - 2 T f = C P T 1 + T 2 - 2 T 1 T 2

Com isso, podemos escrever

Q = C P T 2 - T 1 2

Esse é o resultado pedido no item (d).

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e).

Como na situação descrita no item (b) os corpos trocam calor apenas entre si, isolados do meio externo, não há trabalho disponível.

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

De uma perspectiva de produção de trabalho, o que é melhor? (a) Reservatórios de energia térmica a 675K e 325K ou (b) reservatórios de energia térmica a 625K e 275K ?
Uma máquina térmica opera entre dois reservatórios térmicos de energia a 1.260 R e 510 R. Qual é o máximo trabalho que o motor pode produzir por unidade de calor que o motor recebe da fonte?
Uma máquina térmica recebe calor de uma fonte de calor a 1.200° C e tem uma eficiência térmica de 40 % . O trabalho máximo da máquina térmica é igual a500k J . Determine o calor fornecido à máquina té
É possível desenvolver (a) um ciclo real e (b) um ciclo de máquina térmica reversível que seja mais eficiente que o ciclo de Carnot, operando entre os mesmos limites de temperatura? Explique.
Alega-se que a eficiência de uma máquina térmica completamente reversível pode ser dobrada pela duplicação da temperatura da fonte de energia. Justifique a validade dessa afirmação.