Enunciado
Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 20
Dois sistemas finitos idênticos e de capacidade térmica constante estão inicialmente a temperaturas e , onde .
a) Estes sistemas são usados como os reservatórios de uma máquina de Carnot, que realiza uma quantidade infinitesimal de trabalho em cada ciclo. Mostre que a temperatura final de equilíbrio dos reservatórios é .
b) Mostre que a temperatura final dos sistemas, se eles forem postos em contato em um envoltório adiabático rígido, será .
c) Qual das temperaturas finais é maior?
d) Mostre que a quantidade total de trabalho feito pela máquina de Carnot na parte (a) é .
e) Mostre que o trabalho disponível total na parte (b) é zero.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Vamos resolver o item (a).
Para um corpo com capacidade térmica constante, a variação de entropia é dada por
Assim, a variação de entropia dos sistemas 1 e 2 são dadas por
Somando as duas variações, obtemos a variação de entropia total do sistema:
Como o ciclo de Carnot é reversível, temos que , de modo que
Portanto, isolando :
Isso demonstra o que foi pedido no item (a).
Passo 2
No item (b), temos que considerar os dois sistemas em contato térmica e isolados do entorno. Assim, basta considerar a troca de calor direta entre eles:
Assim,
Isolando , achamos
Prontinho, finalizamos o item (b).
Passo 3
Bora para o item (c).
O truque para ver qual temperatura é maior é partir da relação
Assim,
Somando dos dois lados:
Assim,
Tomando a raiz dos dois lados:
Com isso, vemos que a temperatura final do item (b) é a maior.
Passo 4
Agora vamos para o item (d).
Para isso, vamos começar calculando o calor trocado pelos sistemas 1 e 2:
Lembre-se que , de modo que . Portanto, e . Isso significa que o sistema 1 recebe calor do ciclo, enquanto o sistema 2 perde.
O calor recebido pelo ciclo será dado pelo negativo da soma de com , pois o calor recebido pelo ciclo é o calor recebido do sistema 2 subtraindo o calor perdido para o sistema 1:
Logo,
Com isso, podemos escrever
Esse é o resultado pedido no item (d).
Passo 5
Por fim, vamos ao item (e).
Como na situação descrita no item (b) os corpos trocam calor apenas entre si, isolados do meio externo, não há trabalho disponível.
Resposta
Demonstração.