Enunciado
Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 1
A energia interna específica de um gás de van der Waals é dada por
a) Esboce uma superfície , supondo que seja constante.
b) Mostre que, para um gás de van der Waals,
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
O item (a) é bastante simples. Basta esboçar a superfície de equação
As curvas de nível são obtidas tomando :
Assim, as curvas de nível no plano serão hipérboles. A seguir fazemos um esboço da superfície:
Considere apenas a região com e .
Passo 2
Agora vamos para o item (b). Temos que calcular a diferença . Para isso, recomendo que você dê uma boa olhada na seção 4.2 do livro, especialmente na equação 4-6:
A equação para a energia foi dada no enunciado:
Derivando com relação ao volume:
Já a pressão é dada pela equação de estado de van der Waals que foi estudada no capítulo 2:
Assim,
Com isso, já temos que
Agora falta achar essa outra derivada.
Passo 3
Vamos escrever a equação de van de Waals de outra forma:
Assim,
Daí, derivamos a equação com relação a , mantendo fixo:
Com isso,
Substituindo a expressão de :
Ou ainda,
Com isso,
Desta forma, usando o resultado do fim do passo 2:
Assim, obtemos o resultado esperado:
Resposta
Demonstração.