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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 18

A espessura da camada limite, δ , sobre uma placa plana e lisa em um escoamento incompressível, sem gradiente de pressão, depende da velocidade de corrente livre, U , da massa específica do fluido, ρ , da viscosidade do fluido, μ , e da distância a partir da borda de ataque da placa, x . Expresse estas variáveis em forma adimensional.

Passo 1

Precisamos achar os grupos adimensionais...

Relaxa! É só usar o Teorema Pi de Buckingham!

Primeiro separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

δ x ρ μ U

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

δ x ρ μ U

L L M L 3 M L t L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = δ * ρ a * x b * U c

L * M L 3 a * L b * L t c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a = 0

L : 1 - 3 a + b + c = 0

t : - c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 1 c = 0

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = δ * ρ a * x b * U c

Π 1 = δ * ρ 0 * x - 1 * U 0

Π 1 = δ x

Primeira parte ok!

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * x b * U c

M L t * M L 3 a * L b * L t c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : 1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - c = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = - 1 c = - 1

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * x b * U c

Π 2 = μ * ρ - 1 * x - 1 * U - 1

Π 2 = μ ρ x U

Show de bolinhas!!

Passo 6

Partiu agora para última parte! Encontrar a relação funcional!

Π 1 = f Π 2

δ x = f μ ρ x U

δ = x f μ ρ x U

Resposta

δ = x f μ ρ x U

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