Uma massa m de um líquido a uma temperatura T 1 é misturada com uma massa igual do mesmo líquido a uma temperatura T 2 . O sistema está termicamente isolado. Mostre que a variação de entropia do universo é Δ S = 2 m c P ln ⁡ T 1 + T 2 / 2 T 1 T 2 e mostre que este valor é necessariamente positivo.

Enunciado

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema, vamos primeiro calcular a variação de entropia de um corpo cuja capacidade térmica é constante:

Lembrando que :

Assim, como os sistemas vão trocar calor até atingir uma temperatura de equilíbrio , as variações de entropia dos sistemas 1 e 2 serão dadas por

Somando as duas variações, obtemos a variação de entropia do universo:

Note que podemos escrever o seguinte:

Como , temos que

Para encontrar , lembramos que a soma dos calores trocados deve ser nula para um sistema isolado:

Assim,

Com isso, achamos

Substituindo na equação do passo 1, obtemos exatamente o que o enunciado pediu:

Agora vamos mostrar que .

O truque para ver qual temperatura é maior é partir da relação

Assim,

Somando dos dois lados:

Assim,

Tomando a raiz dos dois lados:

Portanto,

Com isso, vemos que .

Demonstração.