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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 21

Uma massa m de um líquido a uma temperatura T 1 é misturada com uma massa igual do mesmo líquido a uma temperatura T 2 . O sistema está termicamente isolado. Mostre que a variação de entropia do universo é

Δ S = 2 m c P ln ⁡ T 1 + T 2 / 2 T 1 T 2

e mostre que este valor é necessariamente positivo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema, vamos primeiro calcular a variação de entropia de um corpo cuja capacidade térmica é constante:

d S = C P d T T → Δ S = C P ∫ T i T f d T T = C P ln ⁡ T f T i

Lembrando que C P = m c P :

Δ S = m c P ln ⁡ T f T i

Assim, como os sistemas vão trocar calor até atingir uma temperatura de equilíbrio T f , as variações de entropia dos sistemas 1 e 2 serão dadas por

Δ S 1 = m c P ln ⁡ T f T 1                     Δ S 2 = m c P ln ⁡ T f T 2

Somando as duas variações, obtemos a variação de entropia do universo:

Δ S = Δ S 1 + Δ S 2 = m c P ln ⁡ T f 2 T 1 T 2

Note que podemos escrever o seguinte:

Δ S = 2 m c P ⋅ 1 2 ln ⁡ T f 2 T 1 T 2

Como 1 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x , temos que

Δ S = 2 m c P ln ⁡ T f T 1 T 2

Passo 2

Para encontrar T f , lembramos que a soma dos calores trocados deve ser nula para um sistema isolado:

Q 1 + Q 2 = 0

Assim,

m c P T f - T 1 + m c P T f - T 2 = 0

Com isso, achamos

T f = T 1 + T 2 2

Substituindo na equação do passo 1, obtemos exatamente o que o enunciado pediu:

Δ S = 2 m c P ln ⁡ T 1 + T 2 / 2 T 1 T 2

Passo 3

Agora vamos mostrar que Δ S > 0 .

O truque para ver qual temperatura é maior é partir da relação

T 2 - T 1 2 > 0

Assim,

T 2 2 - 2 T 1 T 2 + T 1 2 > 0

Somando 4 T 1 T 2 dos dois lados:

T 2 2 + 2 T 1 T 2 + T 1 2 > 4 T 1 T 2

Assim,

T 1 + T 2 2 > 4 T 1 T 2

Tomando a raiz dos dois lados:

T 1 + T 2 > 2 T 1 T 2 → T 1 + T 2 2 > T 1 T 2

Portanto,

T 1 + T 2 / 2 T 1 T 2 > 1 → ln ⁡ T 1 + T 2 / 2 T 1 T 2 > 0

Com isso, vemos que Δ S > 0 .

Resposta

Demonstração.

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