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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 25

Uma substancia tem um coeficiente de compressão isotérmica κ = a T 3 / P 2 , e um coeficiente de dilatação β = b T 2 / P , onde a e b são constantes. Encontre a equação de estado da substância e a razão a / b .

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa equação temos alguns coeficientes e queremos a equação de estado. Vamos aos cálculos.

Passo 2

Para a equação de estado, temos que calcular

V - V 0 = ∫ T 0 T β V d T - ∫ P 0 P κ V d P

Substituindo as expressões das variáveis dadas no enunciado, temos

V - V 0 = ∫ T 0 T b T 2 P d T - ∫ P 0 P a T 3 P 2 d P

V - V 0 = b P ∫ T 0 T T 2 d T - a T 3 ∫ P 0 P 1 P 2 d P

V - V 0 = b T 3 3 P - b T 0 3 3 P + 2 a T 3 P 3 - 2 a T 3 P 0 3

V - b T 3 3 P - 2 a T 3 P 3 = V 0 - b T 0 3 3 P - 2 a T 3 P 0

Sendo essa a equação de estado pra essa substância.

Passo 3

Para obter essa razão, vamos usar outra equação de estado, que é usada quando o volume é constante, sendo ela

P - P 0 = ∫ T 0 T β κ d T

Substituindo as expressões, temos

P - P 0 = ∫ T 0 T ( b T 2 P ) / ( a T 3 P 2 )   d T

P - P 0 = ∫ T 0 T b P a T d T

P - P 0 = b P a ln ⁡ T T 0

b P a = P - P 0 ln ⁡ T T 0

a b P = ln ⁡ T T 0 P - P 0

a b = P l n T T 0 P - P 0

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

Resposta

A equação de estado é

V - b T 3 3 P - 2 a T 3 P 3 = V 0 - b T 0 3 3 P - 2 a T 3 P 0

E a razão entre as constantes é

a b = P l n T T 0 P - P 0