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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 78

Uma turbina eólica gira a 15   r p m sob ventos estáveis que sopram ao longo da turbina a uma taxa de 42 000   k g / s . A velocidade da ponta da pá da turbina é de 250   k m / h . Considerando que a turbina produz 180   k W de potência, determine a a velocidade média do ar e b a eficiência de conversão da turbina. Considere a densidade do ar 1,31   k g / m 3 .

Passo 1

Primeiro, o enunciado quer saber a velocidade média do ar V a r que passa pela turbina e movimenta suas pás. Essa velocidade pode ser encontrada a partir da equação da vazão mássica do ar m ˙ .

m ˙ = ρ ⋅ A ⋅ V a r       ⟹       V a r = m ˙ ρ ⋅ A

ρ é a densidade do ar. O enunciado informa que ρ vale:

ρ = 1,31   k g / m 3

m ˙ vale 42 000   k g / s segundo o enunciado.

m ˙ = 42 000   k g / s

A é a área pela qual o ar passa. Ela é toda área que as pás da turbina podem ocupar. Como as pás giram, essa área A que as pás ocupam é igual à área do círculo com um raio R igual ao tamanho da pá da turbina.

A = π ⋅ R 2

Vamos achar o tamanho da pá da turbina R a partir da velocidade da ponta da pá V p á e da quantidade de rotações por minuto ω que uma pá faz. Deixaremos essa etapa para o próximo passo.

Passo 2

Antes de fazer as contas para achar R precisamos converter N r o t a ç õ e s de rotações por minuto r p m para radiano por segundo r a d / s e V p á de k m / h para m / s .

ω r a d / s = ω r p m ⋅ 2 ⋅ π 60

V p á m / s = V p á k m / h 3,6

Agora encontramos R reorganizando a fórmula de V p á em função de ω .

V p á = ω ⋅ R       ⟹     R = V p á ω

Agora podemos calcular o valor de V a r .

Passo 3

Primeiro temos que converter as unidades de ω e V p á pra achar R .

ω r a d s = ω r p m ⋅ 2 ⋅ π 60       ⟹       ω r a d s = 15 ⋅ 2 ⋅ π 60       ⟹       ω r a d s ≈ 1 , 57

V p á m s = V p á k m h 3,6       ⟹       V p á m s = 250 3,6       ⟹       V p á m s ≈ 69 , 44

Enfim podemos achar R pela sua fórmula.

R = V p á ω       ⟹       R = 69 , 44 1 , 57       ⟹       R ≈ 44,23   m

Agora somos capazes de achar a velocidade média do ar V a r .

V a r = m ˙ ρ ⋅ A       ⟹       V a r = m ˙ ρ ⋅ π ⋅ R 2       ⟹       V a r = 42000 1,31 ⋅ π ⋅ 44,23 2       ⟹       V a r = 5,22   m / s

Passo 4

A eficiência de conversão da turbina η t u r b i n a é igual à quantidade de potência que ela produz W ˙ dividida pela energia cinética do vento que ela utiliza para produzir W ˙ . Essa potência que a turbina produz é dada pelo enunciado em k W . Ela vale 180   k W . Temos que converter esse valor de k W para W antes de usá-lo na fórmula de η t u r b i n a .

η t u r b i n a = W ˙ m ˙ ⋅ V a r 2 2 ⏟ e n e r g i a c i n é t i c a d o   a r

Já possuímos todos esses valores! Então vamos começar o cálculo de η t u r b i n a agora.

Passo 5

Primeiro convertemos W ˙ para watt W .

W ˙ = 180 ⋅ 1000       ⟹       W ˙ = 1800 00   W

Substituindo esse valor na equação de eficiência encontramos:

η t u r b i n a = W ˙ m ˙ ⋅ V a r 2 2       ⟹       η t u r b i n a = 180000 42000 ⋅ 5,22 2 2       ⟹       η t u r b i n a = 0,31

Resposta

a   V a r = 5,22   m / s

b   η t u r b i n a = 0,31

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