Enunciado
Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 32
a) Usando a relação cíclica Eq. (2-41), encontre o coeficiente de dilatação de uma substância que obedece à equação de Dieterici de estado, dada no problema 2.30.
b) A altas temperaturas e grandes volumes específicos, todos os gases se aproximam de um gás ideal. Verifique que, para grandes valores de e , a equação de Dieterici e a expressão de derivada em (a) aproximam-se das correspondentes para um gás ideal.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
A equação de Dieterici é dada por
Daqui a pouco voltamos a ela.
A equação cíclica 2-41 do livro é
Essa equação pode ser reescrita usando os volumes molares:
Isolando um dos termos:
Vamos usar também que
Assim,
Agora vamos lembrar da definição do coeficiente de expansão térmica:
Assim, podemos isolar a derivada como e substituir na outra equação:
Por fim, isolando :
Invertendo a segunda derivada parcial:
Pronto, agora vamos encarar a equação de Dieterici!
Passo 2
Voltando para a equação de Dieterici, temos
Primeiro derivamos com relação ao volume:
Agora, derivamos com relação a temperatura:
Com isso, o coeficiente de expansão fica:
Assim,
A expressão é feia, mas essa é a resposta!
Passo 3
No item (b), temos que analisar as equações no limite de e grandes. Vamos olhar primeiro para a equação de estado:
Para e grandes, temos , de modo que . Assim,
Portanto,
Além disso, para muito grande, , de modo que
Essa é a equação de um gás ideal! Vemos, portanto, que no limite de altas temperaturas e baixas densidades (altos volumes molares), a equação de Dieterici recupera a equação do gás ideal.
Para um gás ideal, temos
Assim,
Agora vamos voltar para a expressão encontrada no item (a):
No limite , temos que
Para grande, , de modo que
Portanto, no limite de altas temperaturas e baixas densidades, o coeficiente de expansão da equação de Dieterici também se reduz ao valor correspondente ao gás ideal!